Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
loi de Bernoulli
La loi de Bernoulli est la loi de probabilité d'une variable aléatoire ne prenant que deux valeurs, conventionnellement 0 (échec) et 1 (succès). Elle est paramétrée par un réel p ∈ [0, 1], probabilité de succès : P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 − p. L'espérance de X est p et sa variance est p(1 − p). Cette loi modélise tout phénomène aléatoire à deux issues exclusives : pile ou face, réalisation ou non d'un événement, présence ou absence d'un attribut. Elle constitue le cas particulier n = 1 de la loi binomiale. Son nom rend hommage à Jacob Bernoulli, mathématicien suisse du XVIIe siècle, qui a posé les bases du calcul des probabilités.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître une expérience aléatoire à deux issues exclusives codées 0 et 1.
- Écrire les probabilités p et 1 − p d’une loi de Bernoulli.
- Calculer l’espérance p et la variance p(1 − p) sur un exemple où p vaut 0,6.
- Distinguer un essai de Bernoulli d’un comptage binomial sur plusieurs essais.
- Interpréter les cas limites p = 0 et p = 1 sans les exclure de la définition.
En clair
Une pièce biaisée est lancée une fois. Elle tombe soit sur face, soit sur pile : les deux résultats ne peuvent pas arriver ensemble. On code face par 1 et pile par 0.
Si la probabilité d’obtenir face vaut 0,6, celle d’obtenir pile vaut 0,4. La loi de Bernoulli rassemble ces deux valeurs et leurs probabilités. Elle décrit ainsi une seule expérience à deux issues, sans annoncer à l’avance laquelle sera observée.
Définition
Une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli lorsqu’elle ne peut prendre que les valeurs 0 et 1. La valeur 1 code l’issue appelée succès et la valeur 0 l’autre issue, appelée échec. Le mot « succès » désigne seulement une convention de codage : l’événement codé 1 n’a pas besoin d’être favorable.
La loi dépend d’un paramètre réel p compris entre 0 et 1. Ce paramètre est la probabilité du succès. Les deux probabilités sont et . Elles totalisent donc 1. Pour la pièce conductrice, face est codée 1 avec p = 0,6, tandis que pile est codée 0 avec la probabilité 0,4.
L’espérance de X vaut p et sa variance vaut p(1 − p). La loi convient à toute expérience aléatoire réduite à deux issues exclusives : réalisation ou non d’un événement, présence ou absence d’un attribut, pile ou face. Elle est aussi le cas particulier de la loi binomiale pour un seul essai, c’est-à-dire n = 1. Son nom rend hommage à Jacob Bernoulli, mathématicien suisse du XVIIe siècle associé aux bases du calcul des probabilités.
Le principe
Si une expérience aléatoire possède exactement deux issues exclusives et si l’issue choisie comme succès a pour probabilité p, comprise entre 0 et 1, alors la variable X qui vaut 1 en cas de succès et 0 sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre p.
Ses probabilités, son espérance et sa variance vérifient :
Quand l'utiliser
La loi de Bernoulli s’applique à une seule expérience aléatoire. Il faut pouvoir vérifier trois points : l’expérience n’a que deux issues retenues, ces issues s’excluent mutuellement, et l’une d’elles est explicitement codée 1. La probabilité p de cette issue suffit alors à déterminer toute la loi, car l’autre probabilité vaut 1 − p.
Un lancer de dé à six faces, si chaque face reste un résultat distinct, ne satisfait pas la première condition : la variable possède six valeurs et n’est pas une variable de Bernoulli. On peut toutefois poser la question « obtient-on un six ? ». Les réponses oui et non forment alors deux issues, codables par 1 et 0. Si l’on compte les succès au cours d’essais indépendants ayant la même probabilité, la loi binomiale devient le prolongement naturel plutôt qu’une unique loi de Bernoulli.
Un exemple, pas à pas
Une pièce biaisée est lancée une fois. La probabilité d’obtenir face vaut 0,6. On code face par X = 1 et pile par X = 0. Les deux données sont donc p = 0,6 et 1 − p = 0,4.
Étape 1. La variable X ne prend que 0 ou 1. Les deux résultats étant exclusifs, X suit une loi de Bernoulli de paramètre 0,6.
Étape 2. On attribue les probabilités P(X = 1) = 0,6 et P(X = 0) = 0,4. Le contrôle 0,6 + 0,4 = 1 confirme que toutes les issues sont prises en compte.
Étape 3. L’espérance pondère chaque valeur par sa probabilité : . Elle est ici égale à la probabilité de face.
Étape 4. La variance vaut . Elle mesure la dispersion de cette variable binaire autour de son espérance.
La représentation des deux issues montre que les parts 0,6 et 0,4 épuisent toute la probabilité. Un dernier contrôle consiste à vérifier que l’espérance 0,6 appartient bien à l’intervalle [0, 1] et que la variance 0,24 est positive.
En pratique
Pour un lancer unique, on choisit l’un des deux résultats comme succès, puis on lui associe 1. La loi de Bernoulli convient dès que pile et face sont les seules issues retenues.
Pour suivre la réalisation d’un événement, on utilise une variable indicatrice : elle vaut 1 si l’événement se produit et 0 sinon. Sa moyenne théorique donne directement la probabilité de l’événement.
Pour noter la présence ou l’absence d’un attribut, le même codage binaire suffit. En revanche, si l’on veut compter le nombre de succès sur plusieurs essais indépendants, tous de même probabilité de succès, on utilise une loi binomiale. Le nombre d’essais appartient au dispositif de modélisation ; le résultat observé est le nombre de succès.
À ne pas confondre
Loi de Bernoulli et loi binomiale. La première décrit une seule variable binaire, tandis que la seconde compte les succès sur n essais indépendants de même probabilité. Avec un lancer, n = 1 et les deux descriptions coïncident ; avec dix tels lancers et un nombre de faces compris entre 0 et 10, on emploie la loi binomiale.
Loi de probabilité et résultat observé. La loi associe une probabilité à 0 et à 1 ; l’observation fournit seulement l’une de ces valeurs. Obtenir pile une fois ne transforme donc pas p en 0.
Loi de Bernoulli en probabilités et relation de Bernoulli en mécanique des fluides. La fiche traite une variable valant 0 ou 1. Un problème qui relie la pression, la vitesse et l’altitude d’un fluide porte sur une autre notion malgré le nom commun.
Limites et pièges
Paramètres extrêmes. Si p = 0, X vaut toujours 0 ; si p = 1, X vaut toujours 1. Dans les deux cas, la variance p(1 − p) vaut 0 : la loi reste bien définie, mais l’issue n’est plus incertaine.
Codage inversé. Échanger les étiquettes succès et échec remplace X par 1 − X et le paramètre p par 1 − p. Il faut donc annoncer la convention avant tout calcul ; pour la pièce conductrice, coder pile par 1 donnerait le paramètre 0,4, non 0,6.
Deux catégories ne suffisent pas toujours. Le codage 0–1 doit répondre à une question précise. Regrouper arbitrairement plusieurs résultats dans « échec » peut masquer l’information recherchée ; il faut alors conserver une variable à davantage de valeurs.
Un essai ne mesure pas p. Une seule valeur observée, 0 ou 1, ne fournit pas à elle seule la probabilité qui a produit le résultat. Le paramètre doit être donné par le modèle ou estimé à partir d’une série d’observations adaptée.
Pour aller plus loin
loi binomiale — Passer d’un essai de Bernoulli au nombre de succès obtenu sur plusieurs essais.
variable aléatoire — Replacer le codage 0–1 parmi les variables qui associent une valeur numérique aux résultats aléatoires.
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