Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
loi hypergéométrique
La loi hypergéométrique est une loi de probabilité discrète qui modélise le tirage sans remise dans une population finie. Considérons une urne contenant N objets dont m sont dits marqués et N − m non marqués. On tire n objets simultanément (ou successivement sans remise) ; le nombre X d'objets marqués parmi les n tirés suit la loi hypergéométrique de paramètres N, m et n. La probabilité d'obtenir exactement k objets marqués est P(X = k) = C(m, k) · C(N − m, n − k) / C(N, n), pour k variant de max(0, n − (N − m)) à min(n, m). L'espérance de X est nm/N. Lorsque N > 1, sa variance est n · (m/N) · (1 − m/N) · (N − n)/(N − 1). Pour N = 1, X est déterministe et sa variance vaut zéro. Pour n petit devant N, la loi hypergéométrique est bien approchée par la loi binomiale B(n, m/N). Elle est utilisée notamment dans les sondages, les contrôles de qualité par échantillonnage et certains tests statistiques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les conditions d'un modèle hypergéométrique.
- Relier chaque coefficient binomial au dénombrement correspondant.
- Calculer la probabilité d'exactement deux défauts dans un échantillon.
- Interpréter l'espérance, la variance et la limite de l'approximation binomiale.
En clair
Dans un lot de 20 ampoules, 5 sont défectueuses. Un contrôleur en prélève 4 et ne remet aucune ampoule dans le lot. Le contenu du lot change donc après chaque prise : trouver une ampoule défectueuse en laisse moins pour la suite. La loi hypergéométrique décrit le nombre d'ampoules défectueuses dans cet échantillon. Elle tient compte à la fois de la taille limitée du lot, du nombre initial de défauts et de la taille du prélèvement.
Définition
La loi hypergéométrique est une loi de probabilité discrète adaptée à un prélèvement sans remise dans une population finie. La taille totale de la population est notée N, le nombre d'objets marqués m et le nombre d'objets prélevés n. La variable aléatoire X compte les objets marqués parmi les n objets tirés, simultanément ou successivement sans remise. Les paramètres doivent vérifier 0 ≤ m ≤ N et 0 ≤ n ≤ N.
Pour une valeur entière k comprise entre max(0, n − (N − m)) et min(n, m), sa probabilité est . L'espérance vaut . Lorsque N est supérieur à 1, la variance vaut . Le dernier facteur mesure l'effet du prélèvement sans remise. Lorsque n reste petit devant N, la loi binomiale de paramètres n et m/N fournit une bonne approximation.
Le principe
Une population finie contient N objets, dont m sont marqués, et l'on en prélève n sans remise. Si X désigne le nombre d'objets marqués obtenus, alors, pour tout entier k réalisable, . Le premier coefficient choisit les k objets marqués, le second les n − k objets non marqués, et le dénominateur compte tous les prélèvements de n objets.
Quand l'utiliser
La population doit être finie, sa taille N connue, et chaque objet doit appartenir sans ambiguïté à l'une des deux catégories : marqué ou non marqué. Le nombre m d'objets marqués et la taille n du prélèvement doivent aussi être connus. Enfin, aucun objet prélevé ne retourne dans la population avant la fin du tirage. On obtient alors la distribution du nombre X d'objets marqués dans l'échantillon.
Si chaque objet est remis avant le tirage suivant, la composition disponible ne change plus : la loi hypergéométrique ne convient pas. On emploie alors une loi binomiale lorsque les tirages ont la même probabilité de succès et sont indépendants.
Un exemple, pas à pas
Un lot contient 20 ampoules, dont 5 défectueuses. Un contrôleur en prélève 4 sans remise et cherche la probabilité d'en trouver exactement 2 défectueuses. Une représentation du lot et d'un prélèvement possible rend visibles les deux catégories et la taille de l'échantillon.
Données : N = 20 ampoules au total ; m = 5 défectueuses ; n = 4 prélevées ; k = 2 défectueuses recherchées.
1. Le nombre de prélèvements possibles est .
2. Les deux défectueuses se choisissent de façons.
3. Les deux conformes se choisissent de façons.
2. Les deux défectueuses se choisissent de façons.
3. Les deux conformes se choisissent de façons.
4. La probabilité cherchée est .
Le contrôle a donc environ 21,67 % de chances de contenir exactement 2 ampoules défectueuses. Le calcul se contrôle en vérifiant que 10 × 105 = 1 050 cas favorables et que 1 050/4 845 se simplifie bien en 70/323.
En pratique
En contrôle qualité, on prélève des pièces dans un lot sans les remettre avant la décision. La loi hypergéométrique donne alors le risque d'observer un nombre précis de pièces défectueuses. Si chaque pièce était remise et retrouvait la même chance d'être choisie, la loi binomiale serait adaptée.
Dans un sondage effectué à partir d'une liste finie, chaque personne n'est interrogée qu'une fois. La loi hypergéométrique décrit le nombre de personnes possédant un caractère donné dans l'échantillon. Lorsque l'échantillon est petit devant la population, l'approximation binomiale devient pratique.
À ne pas confondre
Loi binomiale. Elle modélise des essais indépendants dont la probabilité de succès reste constante. La loi hypergéométrique, elle, tient compte d'une population finie prélevée sans remise. Dans le lot de 20 ampoules, retirer une défectueuse modifie la proportion de défectueuses restantes : le modèle exact est donc hypergéométrique. La loi binomiale n'est qu'une approximation lorsque le prélèvement est petit devant le lot.
Limites et pièges
Valeur impossible de k. Dans le lot de 20 ampoules, un prélèvement de 4 objets ne peut contenir ni moins de 0 ni plus de 4 défectueuses. Plus généralement, hors de l'intervalle allant de max(0, n − (N − m)) à min(n, m), la probabilité vaut zéro.
Prélèvement de toute la population. Si n = N, le nombre d'objets marqués observé vaut nécessairement m. Le facteur (N − n)/(N − 1) annule alors la variance pour N > 1 : il ne subsiste aucun hasard. Pour N = 1, cette écriture de la variance est indéfinie, mais X reste déterministe et sa variance vaut zéro.
Approximation trop précoce. La proximité avec le modèle binomial suppose que n soit petit devant N. Si la fraction n/N n'est pas négligeable, la composition de la population change sensiblement au fil du prélèvement. Il faut alors conserver la formule hypergéométrique et son facteur de correction (N − n)/(N − 1).
Pour aller plus loin
La loi binomiale précise le modèle approché lorsque l'échantillon reste petit devant la population.
L'espérance mathématique approfondit la valeur moyenne nm/N du nombre d'objets marqués.
La variance d'une variable aléatoire éclaire la dispersion et le facteur de correction lié au tirage sans remise.
L'analyse combinatoire explique pourquoi les coefficients binomiaux comptent les prélèvements favorables et possibles.
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