modèle d'urne

Imaginez une urne contenant trois boules rouges et deux boules bleues, impossibles à distinguer au toucher. Une main en tire une au hasard : chacune des cinq boules a la même chance de sortir.

Ce petit dispositif devient un modèle de hasard. Si la boule revient dans l’urne, les proportions restent les mêmes au tirage suivant. Si elle n’y revient pas, le contenu change et les probabilités aussi.

Un modèle d’urne représente une expérience aléatoire par des boules réparties en catégories, souvent des couleurs. L’urne contient un nombre fini de boules, indiscernables au toucher. Un tirage uniforme signifie que chaque boule présente a la même probabilité d’être choisie. Les couleurs peuvent toutefois avoir des probabilités différentes si elles ne sont pas présentes en mêmes nombres.

Dans des tirages successifs avec remise, la boule tirée est replacée avant le tirage suivant : la composition de l’urne reste constante. Sans remise, cette composition évolue après chaque résultat. Un tirage simultané sélectionne plusieurs boules en une fois ; l’ordre n’y intervient pas, sauf si l’expérience le définit séparément. Des variantes font intervenir plusieurs urnes successives. Dans le modèle de Pólya, le résultat d’un tirage commande l’ajout de boules et modifie ainsi les probabilités futures.

Ce cadre formalise des problèmes combinatoires et probabilistes en traduisant des issues abstraites en objets que l’on peut compter. Jacob Bernoulli en donne une forme ancienne avec des cailloux colorés dans Ars Conjectandi. Laplace a établi d’autres résultats fondamentaux associés à ce cadre, ensuite approfondi notamment par Pólya et Ehrenfest.

Une urne contient trois boules rouges et deux boules bleues. Deux boules sont tirées successivement sans remise. On cherche la probabilité d’obtenir d’abord une rouge, puis une bleue.

Données.
Nombre initial de boules : 5.
Boules rouges initiales : 3.
Boules bleues initiales : 2.
Après le premier tirage, il reste 4 boules. Un arbre de choix peut rendre visibles les effectifs utilisés à chaque étape.

1. La probabilité de tirer d’abord une rouge est 3/5.
2. Cette rouge n’est pas remise : il reste deux rouges et deux bleues.
3. La probabilité de tirer ensuite une bleue, sachant que la première boule est rouge, est 2/4.
4. Pour suivre cette branche complète, on multiplie les deux probabilités.

Le résultat exact est donc 3/10, soit 30 %. Contrôle : parmi les 5 × 4 = 20 couples ordonnés de boules distinctes, 3 × 2 = 6 conviennent ; 6/20 se simplifie bien en 3/10.

Pour modéliser des choix répétés dans une population dont la composition ne change pas, on utilise des tirages avec remise. Cette option est préférable lorsque chaque essai doit retrouver les mêmes probabilités.

Pour sélectionner plusieurs objets distincts dans un lot fini, on choisit plutôt le tirage sans remise. La diminution visible de l’effectif après chaque choix signale que les probabilités suivantes doivent être recalculées.

Lorsque chaque résultat renforce sa propre catégorie par l’ajout de boules, le modèle de Pólya remplace l’urne de composition fixe. Il convient lorsque le passé de l’expérience modifie directement les chances futures.

Équiprobabilité des boules et équiprobabilité des couleurs. Dans une urne uniforme, chaque boule est aussi probable qu’une autre. Les couleurs ne le sont que si elles comptent le même nombre de boules : avec trois rouges et deux bleues, rouge vaut 3/5 et bleue 2/5.

Modèle d’urne et loi de probabilité. Le modèle décrit le dispositif et la règle de tirage ; une loi décrit la distribution d’une variable issue de l’expérience. Compter le nombre de rouges en plusieurs tirages avec remise peut conduire à une loi binomiale, mais l’urne elle-même n’est pas cette loi.

Uniformité non garantie. Compter les boules ne suffit que si chacune est effectivement aussi probable que les autres. Si la règle de sélection favorise certaines boules, le symptôme est une probabilité individuelle différente ; il faut alors préciser ces poids au lieu d’utiliser de simples rapports d’effectifs.

Remise oubliée. Dans l’urne de trois rouges et deux bleues, après une rouge sans remise, la probabilité d’une bleue vaut 2/4, et non 2/5. Il faut mettre à jour le total et chaque effectif après tout tirage non remis.

Tirage impossible. Sans remise, demander plus de tirages que l’urne ne contient de boules ne définit aucune expérience. Avec cinq boules, le seuil est cinq tirages au maximum ; au sixième, il faut arrêter ou changer explicitement la règle.

Renforcement traité comme une remise ordinaire. Dans un modèle de Pólya, ajouter des boules après un résultat change la composition. Conserver les probabilités initiales donne alors un calcul incohérent ; chaque tirage doit repartir des nouveaux effectifs.

La loi binomiale décrit le nombre de succès obtenus lors de répétitions indépendantes de même probabilité, comme des tirages avec remise.

La loi hypergéométrique donne le nombre de succès dans un échantillon tiré sans remise d’une population finie.

L’équiprobabilité précise la condition qui autorise à calculer une probabilité par un rapport entre cas favorables et cas possibles.