Équiprobabilité

Imaginez un dé équilibré à six faces. Avant le lancer, aucune face n'est favorisée : chacune a une chance sur six d'apparaître. Les six résultats possibles sont donc équiprobables.

Pour obtenir un nombre pair, trois faces conviennent : 2, 4 et 6. Il suffit alors de comparer ces trois cas favorables aux six cas possibles. Cette façon de compter n'est valable que si les résultats élémentaires ont réellement la même chance.

Dans un espace probabilisé fini, l'équiprobabilité signifie que toutes les issues élémentaires ont la même probabilité. On note Ω l'ensemble fini de ces issues. Puisque leurs probabilités totalisent 1, chacune vaut 1 divisé par le nombre d'éléments de Ω. Cette hypothèse peut venir de la symétrie d'un dispositif idéal, comme un dé équilibré, ou être posée par le modèle ; elle ne découle pas du simple fait que les issues sont faciles à énumérer.

Pour un événement A, c'est-à-dire un sous-ensemble de Ω, la règle de Laplace donne sa probabilité en divisant le nombre d'issues appartenant à A par le nombre total d'issues : $P(A)=\frac{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\mathrm{\Omega }\mathrm{\mid }}P(A)=\backslash frac\{|A|\}\{|\backslash Omega|\}$. Les barres verticales indiquent ici le nombre d'éléments de l'ensemble. La règle exige un univers fini et des issues élémentaires équiprobables. Si les issues n'ont pas toutes le même poids, leurs probabilités doivent être additionnées au lieu d'appliquer ce rapport.

On lance une fois un dé équilibré à six faces et l'on cherche la probabilité d'obtenir un nombre pair. La représentation des six issues met en évidence les trois résultats qui réalisent l'événement.

Données. L'univers Ω contient les six résultats 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Le dé est équilibré, donc ces six issues sont équiprobables. L'événement A « obtenir un nombre pair » contient 2, 4 et 6.

1. Compter les cas possibles : |Ω| = 6.
2. Compter les cas favorables : |A| = 3.
3. Appliquer la règle de Laplace : $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}P(A)=\backslash frac\{3\}\{6\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$.

La probabilité d'obtenir un nombre pair vaut donc 1/2, soit 50 %. Pour contrôler le résultat, on peut regrouper les six issues en trois paires, chacune formée d'un nombre impair et du nombre pair suivant : dans chaque paire, une issue sur deux est favorable.

Avec un dé équilibré ou une pièce équilibrée, on commence par lister les issues élémentaires. Si une usure ou un biais observable rend certaines issues plus fréquentes, on remplace l'équiprobabilité par des probabilités estimées ou fournies.

Dans un tirage uniforme de cartes ou d'objets, on compte les choix favorables parmi tous les choix possibles. Si le protocole favorise certains objets, par exemple avec des remises inégales, il faut pondérer chaque issue.

En combinatoire, on construit parfois un univers dont les issues ont toutes la même chance afin d'utiliser la règle de Laplace. Le bon réflexe consiste à vérifier l'uniformité du tirage avant de diviser deux dénombrements.

Équiprobabilité et indépendance. L'équiprobabilité compare les probabilités des issues d'une même expérience ; l'indépendance relie deux événements. Deux lancers d'un dé équilibré peuvent être indépendants, mais ce fait ne vient pas de l'égalité des probabilités des faces.

Équiprobabilité et hasard. Une expérience aléatoire n'a pas nécessairement des issues également probables. Une pièce biaisée pour laquelle pile et face ont chacune une probabilité strictement positive produit un résultat incertain, alors que pile et face n'ont pas la même probabilité.

Équiprobabilité et loi uniforme continue. Sur un ensemble fini, chaque issue peut recevoir la même probabilité positive. Sur un intervalle continu, chaque valeur isolée a une probabilité nulle ; l'uniformité se décrit alors par les longueurs d'intervalles, pas par un comptage de valeurs.

Issues mal choisies. La somme de deux dés n'est pas équiprobable : 7 peut être obtenu par six couples ordonnés, contre un seul pour 2. Le symptôme est un nombre différent de réalisations élémentaires ; il faut compter les 36 couples de faces, pas les 11 sommes.

Symétrie supposée. Nommer six faces ne prouve pas qu'un dé matériel est équilibré. Si des fréquences observées s'écartent durablement, la règle de Laplace n'est plus justifiée par le dispositif ; on utilise les probabilités mesurées ou un modèle tenant compte du biais.

Univers vide ou infini. Le quotient |A|/|Ω| exige que Ω soit fini et non vide. Pour un espace infini, « nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles » peut être indéfini ; une loi de probabilité adaptée doit remplacer ce comptage.

Événement — Pour préciser comment un ensemble d'issues traduit une question posée à l'expérience aléatoire.

Loi uniforme discrète — Pour replacer l'équiprobabilité dans le langage des lois de probabilité sur un ensemble fini.

analyse combinatoire — Pour apprendre à dénombrer les issues lorsque la liste complète devient trop longue.