Univers des possibles

On lance un dé ordinaire et l'on note le nombre obtenu. Avant même de lancer le dé, six résultats peuvent se présenter : 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Leur ensemble est l'univers des possibles.

Cet inventaire fixe le cadre du hasard. Une question comme « obtenir un nombre pair » sélectionne alors certains résultats de l'univers : 2, 4 et 6. Ce groupe de résultats forme un événement.

L'univers des possibles, aussi appelé espace fondamental, est l'ensemble de tous les résultats élémentaires retenus pour modéliser une expérience aléatoire. On le note souvent par la lettre grecque oméga majuscule, Ω. Pour un lancer de dé à six faces, l'univers est donné par $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}\backslash Omega=\backslash \{1,2,3,4,5,6\backslash \}$. Un résultat élémentaire est une issue unique de cette description, par exemple 4.

Un événement rassemble les résultats qui satisfont une même condition. L'événement A « obtenir un nombre pair » est ainsi donné par $A=\{2,4,6\}\subseteq \mathrm{\Omega }A=\backslash \{2,4,6\backslash \}\backslash subseteq\backslash Omega$. Dans un modèle fini comme celui-ci, chaque sous-ensemble de Ω peut servir d'événement. Dans le cadre général, les événements admis forment une tribu, c'est-à-dire une famille de sous-ensembles qui contient Ω et reste stable par complémentaire et par réunion dénombrable. Un espace probabilisé réunit alors l'univers Ω, cette tribu et une mesure qui attribue une probabilité aux événements. L'univers seul énumère donc les possibilités ; il ne fixe pas leurs probabilités.

Un dé équilibré à six faces est lancé une fois. Les données sont les six résultats possibles, numérotés de 1 à 6, et l'événement A : « le résultat est pair ». L'équilibre du dé signifie que les six résultats élémentaires ont la même probabilité.

1. Écrire l'univers : $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}\backslash Omega=\backslash \{1,2,3,4,5,6\backslash \}$.
2. Garder les résultats pairs : $A=\{2,4,6\}A=\backslash \{2,4,6\backslash \}$.
3. Compter trois résultats favorables parmi six résultats équiprobables.
4. Calculer la probabilité de A : $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}P(A)=\backslash frac\{3\}\{6\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$.

La probabilité d'obtenir un nombre pair vaut donc un demi. Pour contrôler le résultat, on peut regrouper les six faces en trois paires, chacune composée d'une face impaire et d'une face paire : dans chaque paire, une seule face réalise A. La représentation met aussi en évidence que A est inclus dans Ω sans lui être égal.

Avant un calcul de probabilité, on décrit l'expérience et l'on dresse la liste des résultats élémentaires. Pour le dé, cette liste contient les six numéros. Si la liste est courte, une énumération explicite est préférable à une description vague.

On traduit ensuite la question en événement. « Obtenir un nombre pair » devient le sous-ensemble formé de 2, 4 et 6. Cette traduction permet de vérifier qu'aucun résultat favorable n'a été oublié avant de calculer.

Enfin, on choisit une description assez précise pour la question étudiée. Pour connaître la parité, le numéro de la face suffit. Si l'expérience distinguait plusieurs dés, il faudrait conserver leur ordre ou leur couleur afin que deux résultats physiquement différents ne soient pas confondus.

Univers et événement. L'univers contient tous les résultats élémentaires retenus ; un événement n'en sélectionne qu'une partie, éventuellement aucune ou la totalité. Pour le dé, Ω contient les six faces, tandis que « obtenir un nombre pair » ne contient que 2, 4 et 6.

Univers et espace probabilisé. Un univers est seulement un ensemble de résultats. Un espace probabilisé ajoute une tribu d'événements et une mesure de probabilité. Deux modèles peuvent donc utiliser le même univers tout en attribuant des probabilités différentes aux résultats.

Une description trop grossière fait perdre de l'information. Si deux dés sont lancés, l'univers des sommes allant de 2 à 12 ne permet pas de distinguer les couples (1, 6) et (6, 1). Lorsque l'ordre intervient dans la question, il faut prendre les couples ordonnés comme résultats élémentaires.

Les résultats ne sont pas toujours équiprobables. Compter les éléments favorables et les diviser par le nombre total ne convient que lorsque les résultats élémentaires sont en nombre fini et ont la même probabilité. Avec un dé biaisé, il faut additionner les probabilités attribuées à 2, 4 et 6.

Tout sous-ensemble n'est pas automatiquement un événement dans un modèle général. Pour un univers fini, prendre tous les sous-ensembles ne pose pas de difficulté. Pour certains univers infinis, la mesure de probabilité est définie seulement sur une tribu ; il faut donc vérifier que l'ensemble étudié y appartient.

Une probabilité nulle ne signifie pas toujours impossibilité. Dans un univers continu, un résultat ponctuel peut avoir une probabilité nulle tout en restant possible. L'événement impossible est l'ensemble vide ; cette distinction disparaît dans le modèle fini équiprobable du dé, où chaque face a une probabilité strictement positive.

Expérience aléatoire — Précise l'expérience dont l'univers rassemble les résultats possibles.

Événement — Montre comment une condition sélectionne un sous-ensemble de l'univers.

espace probabilisé — Relie l'univers, les événements mesurables et leur mesure de probabilité.

tribu — Approfondit la famille de sous-ensembles auxquels une probabilité peut être attribuée.