espace probabilisé

Lançons deux fois une pièce. Quatre résultats ordonnés sont possibles : pile-pile, pile-face, face-pile et face-face. On peut s'intéresser à certains regroupements, par exemple « obtenir exactement une fois pile ».

Un espace probabilisé rassemble précisément trois choix : la liste des résultats possibles, les regroupements auxquels on accepte d'attribuer une probabilité, puis la règle qui donne cette probabilité. Il constitue ainsi le cadre complet dans lequel une expérience aléatoire devient calculable.

Un espace probabilisé est un triplet formé d'un univers, d'une tribu et d'une mesure de probabilité. L'univers, noté Ω, contient tous les résultats possibles de l'expérience. La tribu, notée T, est une famille de parties de Ω ; ses éléments sont les événements. Elle contient Ω et reste stable quand on prend le complémentaire d'un événement ou la réunion d'une suite dénombrable d'événements.

La mesure de probabilité, notée P, associe à chaque événement de T un nombre compris entre 0 et 1. La probabilité de l'univers vaut 1 : $P(\mathrm{\Omega })=1P(\backslash Omega)=1$. Si les événements A₁, A₂, … appartiennent à T et sont deux à deux disjoints, P vérifie la σ-additivité :

Le couple formé seulement de Ω et T est un espace probabilisable. Il devient probabilisé lorsqu'une mesure P est choisie. Pour tout événement t appartenant à T, P(t) est la probabilité de sa réalisation.

La première pièce est l'univers Ω. Il fixe les résultats possibles : pour deux lancers, Ω contient pile-pile, pile-face, face-pile et face-face. Changer l'expérience change donc l'univers.

La deuxième pièce est la tribu T. Elle sélectionne, parmi les parties de Ω, celles qui sont des événements. Sa stabilité par complémentaire garantit que le contraire d'un événement reste admissible. Sa stabilité par réunion dénombrable garantit que le regroupement d'une suite d'événements reste admissible.

La troisième pièce est la mesure P. Son domaine est T, et non une famille laissée implicite. Elle attribue les valeurs entre 0 et 1, avec un total égal à 1 sur Ω et une addition sur les événements disjoints. Ces trois données suffisent à définir quels événements sont étudiés et à calculer leur probabilité.

On lance deux fois une pièce équilibrée.
Données : l'ordre des lancers compte ; les quatre résultats pile-pile, pile-face, face-pile et face-face sont possibles ; chacun reçoit la probabilité 1/4.

1. L'univers Ω est l'ensemble de ces quatre résultats. On choisit pour T la famille de toutes les parties de Ω : chaque regroupement de résultats est alors un événement.

2. La mesure P additionne les probabilités des résultats contenus dans l'événement considéré. Sur Ω, elle donne 4 × 1/4 = 1, comme l'exige la normalisation.

3. Notons A l'événement « obtenir exactement une fois pile ». Il contient pile-face et face-pile, deux résultats disjoints. Ainsi, P(A) = 1/4 + 1/4 = 1/2.

4. Le contrôle consiste à regrouper Ω en trois événements disjoints : zéro pile, exactement une fois pile, deux piles. Leurs probabilités valent 1/4, 1/2 et 1/4 ; leur somme vaut bien 1. La figure matérialise ce regroupement sans changer l'univers.

Pour modéliser une expérience finie, on commence par énumérer tous les résultats possibles dans Ω. Si chaque partie peut être un événement, choisir toutes les parties de Ω évite d'écarter un regroupement utile.

Pour poser une question précise, on traduit ensuite cette question en événement de T. Dans l'exemple, « exactement une fois pile » devient le regroupement de deux résultats plutôt qu'une nouvelle issue.

Pour attribuer les probabilités, on vérifie d'abord que P(Ω) vaut 1. Face à des événements disjoints, on additionne leurs probabilités ; sans disjonction vérifiée, cette addition directe n'est pas garantie par l'axiome.

Espace probabilisable et espace probabilisé. Le premier est seulement le couple (Ω, T). Le second comprend aussi la mesure P. Si aucune valeur n'est attribuée aux événements, le cadre est probabilisable, mais pas encore probabilisé.

Résultat et événement. Un résultat est un élément de Ω ; un événement est une partie de Ω appartenant à T. Dans les deux lancers, pile-face est un résultat, tandis que « exactement une fois pile » est l'événement formé de pile-face et face-pile.

Toutes les parties ne sont pas automatiquement des événements. Dans l'exemple fini, T contient toutes les parties de Ω, mais la définition générale demande seulement une tribu. Il faut donc vérifier qu'une partie appartient à T avant de lui appliquer P.

L'addition directe exige la disjonction. La σ-additivité concerne une suite d'événements deux à deux disjoints. Si deux événements partagent un résultat, les additionner sans autre vérification compte ce résultat commun deux fois.

La propriété porte sur une suite dénombrable. Vérifier seulement deux événements illustre l'axiome, mais ne remplace pas sa portée générale. La mesure doit respecter l'égalité pour toute suite dénombrable d'événements deux à deux disjoints.

La mesure dépend du couple (Ω, T). Écrire P sans préciser quels résultats et quels événements forment son domaine laisse le modèle incomplet. Il faut donner le triplet entier pour identifier un espace probabilisé.

Tribu — Pour approfondir la famille d'événements sur laquelle une mesure de probabilité est définie.

Événement — Pour distinguer précisément un résultat possible du regroupement auquel une probabilité est attribuée.

Conditionnelle (probabilité) — Pour prolonger l'étude des probabilités lorsqu'une information sur un événement est prise en compte.