tribu

Imaginez quatre issues numérotées 1, 2, 3 et 4. On décide de distinguer seulement le groupe {1, 2}, le groupe {3, 4}, l’ensemble entier et l’ensemble vide. Cette collection forme une tribu : prendre le contraire d’un groupe autorisé ou réunir une suite de groupes autorisés ne fait jamais sortir de la collection.

Une tribu fixe ainsi les questions auxquelles une mesure ou une probabilité peut répondre. Elle précise quels sous-ensembles sont mesurables, sans obliger à traiter séparément toutes les parties de l’ensemble de départ.

Soit un ensemble E. Une tribu sur E, aussi appelée σ-algèbre, est une famille T de sous-ensembles de E. Ses éléments sont appelés ensembles mesurables. Elle contient E. Si un ensemble A appartient à T, son complémentaire dans E appartient aussi à T. Enfin, pour toute suite A₁, A₂, A₃, … d’éléments de T, leur réunion appartient à T.

Ces axiomes entraînent que l’ensemble vide appartient à T et que T est stable par intersection dénombrable. Ils couvrent aussi les réunions finies, en complétant une suite par des ensembles vides. La plus petite tribu sur E est {∅, E} ; la plus grande est l’ensemble de toutes les parties de E.

Sur un espace muni d’une topologie, la tribu borélienne est la plus petite tribu contenant tous les ouverts. Elle est aussi appelée σ-algèbre de Borel. Ce nom désigne donc une tribu particulière liée à la topologie, et non toute tribu sur un ensemble quelconque.

On prend l’ensemble E = {1, 2, 3, 4} et la famille T = {∅, {1, 2}, {3, 4}, E}. Les quatre sous-ensembles annoncés sont les seules données de l’exemple.

1. L’ensemble E figure bien dans T.
2. Les complémentaires dans E s’échangent par paires : ∅ avec E, puis {1, 2} avec {3, 4}.
3. Une réunion de membres de T vaut toujours ∅, {1, 2}, {3, 4} ou E. Même une suite infinie de ces quatre ensembles ne produit rien d’autre.

Les trois axiomes sont donc vérifiés : T est une tribu sur E. Pour contrôler le résultat, on peut tester la réunion la moins immédiate : {1, 2} ∪ {3, 4} = E, qui appartient bien à T. En revanche, {1} n’est pas mesurable pour cette tribu, car il n’appartient pas à T.

En probabilités, la tribu décrit les événements auxquels une probabilité est attribuée. Dans l’exemple, on peut demander si l’issue appartient à {1, 2}, mais pas isoler l’événement {1}. Pour distinguer chaque issue, il faudrait choisir la tribu de toutes les parties de E.

En théorie de la mesure, la tribu fixe les ensembles auxquels une longueur, une aire ou une mesure plus générale peut être associée. Sur un espace topologique, la tribu borélienne est naturelle lorsque l’on veut rendre mesurables tous les ouverts.

Lorsqu’une information ne distingue que certains groupes d’issues, une petite tribu traduit exactement ce niveau d’observation. La tribu de toutes les parties convient aux ensembles finis si chaque sous-ensemble doit être observable, mais elle encode davantage d’événements.

Tribu et algèbre d’ensembles. Une algèbre d’ensembles est stable par complémentaire et par réunion finie. Une tribu exige la stabilité par réunion dénombrable. Sur les entiers, les ensembles finis ou de complémentaire fini forment une algèbre. Pourtant, la réunion des singletons pairs est infinie et son complémentaire aussi : elle sort de cette algèbre, qui n’est donc pas une tribu.

Tribu et tribu borélienne. Une tribu peut être définie sur n’importe quel ensemble. La tribu borélienne suppose un espace topologique et contient tous ses ouverts. Pour trancher, on demande donc si une topologie est donnée et si la famille considérée est la plus petite tribu contenant les ouverts.

Oublier le dénombrable. Vérifier seulement les réunions de deux ensembles ne suffit pas sur un ensemble infini. Le symptôme est une famille stable pour toute opération finie, mais dont une réunion indexée par les entiers sort de la famille. Il faut tester l’axiome sur une suite arbitraire.

Chercher les singletons à tout prix. Une tribu n’a pas à contenir chaque ensemble réduit à un point. Dans l’exemple, ni {1} ni {2} n’appartiennent à T. Il faut vérifier l’appartenance à la tribu choisie, et non supposer que toute partie de E est mesurable.

Confondre fermeture et génération. Une collection de sous-ensembles peut ne pas être elle-même une tribu. On considère alors la tribu qu’elle engendre, c’est-à-dire la plus petite tribu qui la contient. Ajouter arbitrairement quelques compléments ne garantit pas encore la stabilité par toutes les réunions dénombrables.

La Mesure signée montre comment une mesure définie sur une tribu peut prendre des valeurs positives ou négatives.

La Conditionnelle (probabilité) prolonge l’étude des événements mesurables lorsque l’on dispose d’une information supplémentaire.