Mesure signée

Imaginez trois comptes auxquels on associe les valeurs +4, −3 et +1. Pour un groupe de comptes, on additionne les valeurs : le résultat peut être positif, nul ou négatif. Une mesure signée généralise ce bilan à des ensembles d’un espace mesurable. Elle garde séparément ce qui contribue positivement et ce qui contribue négativement. La différence donne le bilan signé ; la somme des amplitudes donne la variation totale, qui mesure l’importance cumulée sans compensation.

Sur un espace muni d’une tribu, une mesure signée associe à chaque ensemble mesurable un réel étendu. Elle vaut 0 sur l’ensemble vide et elle est sigma-additive : pour toute famille dénombrable d’ensembles mesurables deux à deux disjoints, la valeur de leur réunion est la somme de leurs valeurs. Pour éviter l’expression indéterminée +∞ − ∞, sa plage de valeurs ne contient pas simultanément +∞ et −∞.

Une décomposition de Hahn partage l’espace en un ensemble positif P et un ensemble négatif N. Toute partie mesurable de P a une mesure positive ou nulle, tandis que toute partie mesurable de N a une mesure négative ou nulle. Cette partition existe, mais elle peut varier sur des ensembles négligeables.

La décomposition de Jordan associe, elle, deux mesures positives mutuellement singulières : la partie positive μ⁺ et la partie négative μ⁻. Elles sont uniques et vérifient $\mu ={\mu }^{+}-{\mu }^{-}\backslash mu=\backslash mu^\{+\}-\backslash mu^\{-\}$. La variation totale, notée |μ|, est la mesure positive définie par $\mathrm{\mid }\mu \mathrm{\mid }={\mu }^{+}+{\mu }^{-}|\backslash mu|=\backslash mu^\{+\}+\backslash mu^\{-\}$. Une mesure positive ordinaire est le cas particulier où μ⁻ est nulle.

On rencontre une mesure signée lorsqu’un même modèle doit enregistrer des contributions de sens opposés. Le support est un espace mesurable : ses objets sont des ensembles appartenant à une tribu. Les marqueurs à repérer sont une valeur attachée à chaque ensemble, la possibilité de valeurs négatives, l’addition des valeurs sur des ensembles disjoints et l’absence d’unité imposée par la théorie. Selon le problème, la valeur peut représenter un bilan, une charge algébrique ou la différence de deux distributions positives.

La grandeur lue est la valeur algébrique μ(A) d’un ensemble mesurable A. Premièrement, fixez l’ensemble A et vérifiez qu’il appartient à la tribu. Deuxièmement, séparez sa partie située dans la zone positive P de celle située dans la zone négative N. Troisièmement, calculez les deux contributions positives μ⁺(A) et μ⁻(A). Enfin, soustrayez la seconde de la première pour obtenir μ(A), ou additionnez-les pour obtenir |μ|(A).

La convention décisive est celle du signe : μ⁻ est une mesure positive qui quantifie l’amplitude de la contribution négative. Elle n’est pas elle-même négative. Un petit bilan peut donc masquer deux grandes contributions opposées. Le bon réflexe consiste à regarder aussi la variation totale, qui ne laisse pas les signes se compenser.

Considérons l’espace Ω = {a, b, c}, muni de toutes ses parties. Les données sont les poids +4 pour a, −3 pour b et +1 pour c. La mesure signée μ d’une partie est la somme des poids de ses points.

1. Les points de poids positif forment P = {a, c}, tandis que N = {b}. C’est une décomposition de Hahn.

2. Sur l’ensemble entier, la partie positive vaut μ⁺(Ω) = 4 + 1 = 5 et la partie négative vaut μ⁻(Ω) = 3.

3. La décomposition de Jordan donne μ(Ω) = 5 − 3 = 2. La variation totale donne |μ|(Ω) = 5 + 3 = 8.

Le résultat signé est donc 2, sans unité dans cet exemple, et la variation totale est 8. Pour contrôler le calcul, additionnez directement les trois poids : 4 − 3 + 1 = 2. Puis additionnez leurs valeurs absolues : 4 + 3 + 1 = 8.

Pour modéliser des contributions qui s’ajoutent et se retranchent, une mesure signée conserve leur localisation sur les ensembles. Une simple mesure positive convient plutôt lorsque toutes les contributions ont le même sens.

Pour comparer l’intensité globale de deux bilans, on examine leur variation totale. La seule valeur signée convient si la compensation est précisément l’information recherchée ; elle ne convient pas si des contributions opposées risquent de se masquer.

En analyse, la décomposition de Jordan ramène l’étude d’une mesure signée finie à celle de deux mesures positives. On peut alors appliquer séparément des outils conçus pour les quantités positives, puis recombiner les résultats par différence.

Une mesure signée n’est pas une mesure positive. Le critère est la présence d’un ensemble de valeur strictement négative : dans l’exemple, μ({b}) = −3, ce qui exclut une mesure positive.

Une mesure signée n’est pas non plus une mesure complexe. La première prend ses valeurs dans les réels étendus, sous la restriction sur les valeurs infinies ; la seconde prend des valeurs complexes finies. Une valeur non réelle suffit à trancher.

Enfin, la décomposition de Hahn et celle de Jordan ne désignent pas le même objet. Hahn fournit une partition positive-négative de l’espace ; Jordan fournit deux mesures positives uniques et mutuellement singulières dont la différence est μ.

Un bilan nul ne signifie pas que la mesure est nulle. Si les poids sont +4 et −4 sur deux points, leur réunion a une valeur 0, mais sa variation totale vaut 8. Il faut examiner les sous-ensembles ou |μ| pour détecter la compensation.

Une décomposition de Hahn n’est pas forcément unique point par point. Un ensemble sur lequel toutes les parties mesurables ont une mesure nulle peut être placé du côté positif ou négatif. En revanche, les mesures μ⁺ et μ⁻ de Jordan sont uniques.

Les deux valeurs infinies ne doivent pas apparaître dans la plage d’une même mesure signée. Sinon, la différence implicite +∞ − ∞ peut devenir indéterminée et l’additivité perd son sens. Il faut choisir une convention à valeurs dans [−∞, +∞) ou dans (−∞, +∞], ou travailler avec une mesure signée finie.

La valeur μ(A) n’est définie que pour un ensemble A mesurable. Si A n’appartient pas à la tribu, aucun calcul ne doit lui attribuer automatiquement une valeur ; il faut d’abord élargir la tribu de façon cohérente ou employer une autre construction.

La variation totale permet de traiter une mesure signée comme un objet dominé par une mesure positive. Pour toute partie mesurable A, l’amplitude de μ(A) ne dépasse pas |μ|(A). Cette domination ouvre la voie à l’intégration par rapport à une mesure signée : on intègre séparément contre μ⁺ et μ⁻, lorsque les deux intégrales rendent la différence bien définie.