Espace mesuré

Imaginez quatre tickets numérotés 1, 2, 3 et 4, tous aussi probables. À chaque groupe de tickets, on attribue sa part du total : un ticket vaut 1/4, deux tickets valent 1/2.

Un espace mesuré rassemble précisément le terrain, les groupes auxquels on accepte d'attribuer une taille et la règle qui donne cette taille. Si des groupes ne se chevauchent pas, leurs tailles s'additionnent.

Un espace mesuré est un triplet (E, F, μ). L'ensemble E est le support. La famille F est une tribu de parties de E : elle contient l'ensemble vide et reste stable par complémentaire et par union dénombrable. L'application μ associe à chaque ensemble A de F un nombre dans [0, +∞]. Elle vérifie μ(∅) = 0.

Pour toute suite d'ensembles A₁, A₂, … appartenant à F et deux à deux disjoints, la σ-additivité impose : La valeur +∞ est autorisée. La mesure peut représenter une longueur, une aire, un comptage ou une probabilité. Ce cadre permet ensuite de définir l'intégrale de Lebesgue des fonctions mesurables.

On rencontre un espace mesuré dès qu'un texte associe une taille à des ensembles. Quatre marqueurs permettent de le reconnaître : un support E, une famille F d'ensembles autorisés, une application μ à valeurs positives ou nulles, éventuellement infinies, et une règle d'addition pour les ensembles disjoints.

En probabilités, le support rassemble les issues et μ(E) vaut 1. Pour la mesure de Lebesgue sur la droite, μ encode notamment la longueur des intervalles. Dans les deux cas, F précise quels ensembles peuvent recevoir une mesure.

La grandeur à lire est μ(A), la mesure d'un ensemble A. 1. Identifiez d'abord le support E et la tribu F. 2. Vérifiez que l'ensemble étudié appartient à F. 3. Appliquez la règle qui définit μ. 4. Si l'ensemble est découpé en morceaux disjoints, additionnez leurs mesures.

La convention décisive est le choix de μ : le même ensemble peut recevoir une mesure de comptage, une longueur ou une probabilité. Un dessin plus grand n'implique donc pas une mesure plus grande. Le bon réflexe consiste à lire la définition de μ avant de comparer deux ensembles.

On tire au hasard l'un de quatre tickets numérotés 1, 2, 3 et 4. Les données sont le support E = {1, 2, 3, 4}, la tribu F formée de toutes les parties de E et la mesure μ(A) = |A|/4 pour tout ensemble A de F, où |A| désigne le nombre de tickets dans A.

1. Prenons A = {1, 2}. Cet ensemble contient deux tickets, donc μ(A) = 2/4 = 1/2.

2. Prenons B = {3}. Il contient un ticket, donc μ(B) = 1/4. Les ensembles A et B sont disjoints.

3. Leur union vaut A ∪ B = {1, 2, 3}. Elle contient trois tickets, donc μ(A ∪ B) = 3/4.

4. Le contrôle donne μ(A) + μ(B) = 1/2 + 1/4 = 3/4. Il retrouve exactement la mesure de l'union, comme l'exige la σ-additivité. La représentation permet de vérifier ce partage sans dépendre de l'aire dessinée.

Enfin, μ(E) = 4/4 = 1 : cet espace mesuré est aussi un espace probabilisé.

Pour modéliser un tirage aléatoire, on choisit une mesure de probabilité lorsque le total doit valoir 1. Une simple mesure de comptage convient plutôt si l'on veut conserver le nombre d'issues.

Pour mesurer des sous-ensembles de la droite, la mesure de Lebesgue est adaptée lorsque les intervalles doivent recevoir leur longueur. Le comptage est préférable si chaque point doit peser une unité.

Pour intégrer une fonction, on précise l'espace mesuré avant le calcul. Le choix de μ détermine ce que l'intégrale agrège : des valeurs pondérées par des probabilités, des longueurs ou des masses discrètes.

Espace mesurable. Le couple (E, F) indique seulement quels ensembles sont mesurables. Le triplet (E, F, μ) est un espace mesuré, car une mesure précise a été ajoutée. Sur E = {1, 2, 3, 4}, fixer toutes les parties ne dit pas encore si un singleton pèse 1 ou 1/4.

Espace probabilisé. C'est un espace mesuré dont la mesure totale vérifie μ(E) = 1. La mesure de comptage de l'exemple donne 4 à E : elle définit un espace mesuré, mais pas un espace probabilisé.

Tout sous-ensemble n'est pas automatiquement admissible. Si A n'appartient pas à F, l'écriture μ(A) n'est pas définie dans l'espace considéré. Il faut vérifier la tribu ou travailler dans un cadre où A est mesurable.

La mesure totale peut être infinie. L'intervalle d'arrivée contient +∞. Une différence comme ∞ − ∞ ne fournit alors aucune valeur ; il faut revenir à des ensembles de mesure finie ou employer un résultat qui traite explicitement ce cas.

L'additivité exige la disjonction. Si A et B se chevauchent, additionner μ(A) et μ(B) compte deux fois leur intersection. Il faut soustraire μ(A ∩ B) lorsque les trois mesures sont finies, ou décomposer l'union en morceaux disjoints.

Mesure nulle ne signifie pas ensemble vide. Sous une mesure de longueur, un singleton peut avoir une mesure nulle. Il faut distinguer l'absence de points de l'absence de masse pour la mesure choisie.

Espace mesurable — Isoler le rôle du support et de la tribu avant l'ajout d'une mesure.

Tribu — Examiner les opérations qui garantissent que les ensembles restent mesurables.

Mesure de Lebesgue — Relier le cadre abstrait à la mesure usuelle des longueurs, aires et volumes.

Intégrale de Lebesgue — Voir comment une mesure sert à agréger les valeurs d'une fonction mesurable.

Fonction mesurable — Étudier la condition qui rend une fonction compatible avec les tribus de départ et d'arrivée.