mesure de Lebesgue

Sur une droite graduée, le segment allant de 0 à 1 a pour longueur 1. Celui allant de 2 à 2,5 a pour longueur 0,5. La mesure de Lebesgue prolonge ce geste : elle attribue une taille à de nombreux ensembles de nombres réels.

Si des morceaux ne se chevauchent pas, leurs mesures s'ajoutent, même lorsqu'ils sont en nombre infini mais dénombrable. Déplacer tout l'ensemble vers la gauche ou la droite ne change pas sa mesure.

Un espace mesurable est formé d'un ensemble X et d'une collection T de parties de X, appelée tribu, stable par complémentaire et par union dénombrable. Une mesure positive, notée m, associe à chaque ensemble A de T un nombre de [0, +∞]. Elle attribue 0 à l'ensemble vide.

Sa propriété décisive est l'additivité dénombrable. Pour toute suite d'ensembles mesurables A₁, A₂, … deux à deux disjoints, elle impose :

Sur ℝ, les boréliens forment la tribu engendrée par les intervalles ouverts. La mesure de Lebesgue y associe à chaque segment [a, b], avec a ≤ b, sa longueur b − a. Elle est invariante par translation : si un nombre réel t décale un borélien A, alors m(A + t) = m(A). Ces deux exigences caractérisent de manière unique la mesure de Lebesgue sur les boréliens de ℝ. Le triplet (X, T, m) s'appelle un espace mesuré.

On rencontre la mesure de Lebesgue lorsqu'une droite réelle est découpée en intervalles ou en ensembles plus élaborés. Plusieurs indices la signalent : le support est ℝ, les ensembles considérés sont mesurables, un segment [a, b] reçoit la valeur b − a, et un déplacement horizontal conserve cette valeur.

Elle apparaît aussi derrière l'intégrale de Lebesgue : la mesure indique alors quelle taille donner aux ensembles sur lesquels une fonction prend certaines valeurs. Dans le cadre abstrait, les notations (X, T, m) annoncent respectivement le support, les ensembles autorisés et la règle de mesure.

La grandeur lue est une longueur généralisée, exprimée dans l'unité de l'axe réel. Pour interpréter m(A), on peut suivre quatre étapes. 1. Identifier l'ensemble A et vérifier qu'il appartient au domaine des ensembles mesurables. 2. Le décomposer, si possible, en morceaux disjoints. 3. Mesurer chaque intervalle par la différence entre son extrémité droite et son extrémité gauche. 4. Additionner les mesures des morceaux.

La convention importante est que les recouvrements ne se comptent pas deux fois : l'additivité directe exige des morceaux disjoints. L'œil peut aussi prendre un ensemble dispersé pour un ensemble plus grand parce qu'il s'étend loin sur l'axe. Le bon réflexe consiste à mesurer les morceaux eux-mêmes, pas l'écart entre les deux points extrêmes.

Considérons l'ensemble A formé de deux segments disjoints sur ℝ. Les données sont [0, 1] et [2, 2,5], dans l'unité de l'axe. La représentation associe à chaque segment sa longueur et laisse visible l'espace non mesuré entre 1 et 2.

1. Le premier segment a pour mesure 1 − 0 = 1.

2. Le second segment a pour mesure 2,5 − 2 = 0,5.

3. Les deux segments sont disjoints, donc l'additivité donne m(A) = 1 + 0,5 = 1,5.

Le résultat est 1,5 unité de longueur. Pour le contrôler, on peut translater A de 3 unités : les segments deviennent [3, 4] et [5, 5,5], dont les longueurs 1 et 0,5 ont encore pour somme 1,5.

Pour mesurer une union finie d'intervalles, on la découpe en morceaux disjoints puis on additionne leurs longueurs. Si des intervalles se chevauchent, on commence par fusionner le chevauchement afin de ne pas le compter deux fois.

Pour construire une intégrale de Lebesgue, on mesure les ensembles où la fonction prend ses différentes valeurs. Cette approche est adaptée lorsque le découpage pertinent porte sur les valeurs de la fonction plutôt que sur des sous-intervalles réguliers de l'axe.

Pour comparer un ensemble à son translaté, il est inutile de recommencer le calcul : l'invariance par translation garantit la même mesure. En revanche, si l'ensemble est dilaté plutôt que déplacé, cette invariance ne suffit pas et il faut tenir compte du changement d'échelle.

Mesure de Lebesgue et intégrale de Lebesgue. La mesure attribue une taille à un ensemble ; l'intégrale attribue une valeur à une fonction en s'appuyant sur cette mesure. Pour l'indicatrice d'un ensemble A, l'intégrale vaut m(A), mais les deux notions ne sont pas identiques.

Mesure et cardinalité. La cardinalité compte les éléments, tandis que la mesure de Lebesgue évalue leur étendue sur ℝ. Le segment [0, 1] contient une infinité de points et mesure 1 ; ajouter ou retirer un seul point ne change pas sa mesure.

Translation et dilatation. Ajouter le même nombre à tous les points conserve la mesure. Multiplier les coordonnées par 2 double au contraire la longueur : [0, 1] devient [0, 2], de mesure 2.

Tous les sous-ensembles de ℝ ne sont pas mesurables. Si A n'appartient pas à la tribu choisie, l'écriture m(A) n'est pas définie dans cet espace mesuré. Il faut d'abord préciser la tribu et vérifier que A en fait partie.

Une mesure peut être infinie. L'ensemble ℝ tout entier a une mesure de Lebesgue égale à +∞. Cette valeur est autorisée par l'intervalle d'arrivée [0, +∞] ; elle ne signale pas un calcul inachevé.

Des points isolés ne créent pas de longueur. Un point a une mesure nulle. Ainsi, [0, 1], [0, 1[ et ]0, 1[ ont tous la mesure 1, même si ces ensembles ne sont pas égaux.

L'additivité exige la disjonction. Pour [0, 2] et [1, 3], additionner 2 + 2 compterait deux fois [1, 2]. Leur union est [0, 3] et mesure 3 ; il faut retirer le chevauchement ou former des morceaux disjoints.

L'intégrale de Lebesgue montre comment une mesure d'ensembles devient un outil pour attribuer une valeur globale à une fonction.