intégrale de Lebesgue

Imaginez une fonction qui vaut 1 sur la première moitié d’un intervalle et 2 sur la seconde. Au lieu d’avancer de gauche à droite en découpant l’intervalle, on rassemble les points où la fonction prend la même hauteur. Chaque hauteur est alors pondérée par la mesure de l’ensemble qui la porte.

Cette façon de compter par niveaux est l’intuition de l’intégrale de Lebesgue. Elle reste efficace lorsque les valeurs sont réparties de manière très irrégulière, à condition que la fonction et les ensembles considérés soient mesurables.

On se place dans un espace muni d’une mesure, c’est-à-dire d’une règle qui attribue une taille aux ensembles mesurables. Pour une fonction mesurable positive f, l’intégrale de Lebesgue se construit d’abord pour une fonction étagée positive. Si cette fonction prend les valeurs positives a₁, …, a_n sur des ensembles mesurables disjoints E₁, …, E_n qui forment une partition de l’espace considéré, sa valeur est la somme des hauteurs multipliées par les mesures correspondantes : $\int \text{\hspace{0.17em}⁣}fd\mu ={\sum }_{k=1}^n{a}_k\mu (E_k)\backslash int\; \backslash !\; f\backslash ,d\backslash mu=\backslash sum\_\{k=1\}^\{n\}a\_k\backslash ,\backslash mu(E\_k)$.

Pour une fonction mesurable positive quelconque, on prend la borne supérieure des intégrales des fonctions étagées positives qui restent en dessous d’elle. Cette valeur peut être infinie. Pour une fonction réelle signée f, on sépare sa partie positive f⁺ et sa partie négative f⁻. L’intégrale est finie lorsque l’intégrale de la valeur absolue de f est finie ; on a alors $\int \text{\hspace{0.17em}⁣}fd\mu =\int \text{\hspace{0.17em}⁣}{f}^{+}d\mu -\int \text{\hspace{0.17em}⁣}{f}^{-}d\mu \backslash int\; \backslash !\; f\backslash ,d\backslash mu=\backslash int\; \backslash !\; f^\{+\}\backslash ,d\backslash mu-\backslash int\; \backslash !\; f^\{-\}\backslash ,d\backslash mu$. Si les deux termes sont infinis, la différence n’est pas définie.

Sur un intervalle réel muni de la mesure de Lebesgue, cette intégrale prolonge l’intégrale de Riemann : toute fonction Riemann-intégrable y est Lebesgue-intégrable et les deux valeurs coïncident. La réciproque est fausse. Le cadre mesurable accepte notamment certaines fonctions ayant une infinité de discontinuités et facilite les passages à la limite, ce qui explique son rôle en analyse de Fourier et en probabilités.

Données. Sur l’intervalle [0,1] muni de sa longueur usuelle, la fonction f vaut 1 pour 0 ≤ x ≤ 1/2 et 2 pour 1/2 < x ≤ 1. Les deux ensembles ont chacun pour mesure 1/2.

1. Le niveau 1 est porté par [0,1/2]. Sa contribution à l’intégrale vaut 1 × 1/2 = 1/2.

2. Le niveau 2 est porté par ]1/2,1]. Sa contribution vaut 2 × 1/2 = 1. Le choix d’inclure ou non le point 1/2 ne change pas le résultat, car un point a une mesure nulle.

3. On additionne les deux contributions : ${\int }_0^{1}f(x)dx=1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}\backslash int\_\{0\}^\{1\}\; f(x)\backslash ,dx=1\backslash times\backslash frac\{1\}\{2\}+2\backslash times\backslash frac\{1\}\{2\}=\backslash frac\{3\}\{2\}$. L’intégrale vaut donc 3/2, sans unité dans cet exemple.

Contrôle. La fonction reste comprise entre 1 et 2 sur un intervalle de longueur 1 : son intégrale doit donc être comprise entre 1 et 2. La valeur 3/2 satisfait ce contrôle. La figure matérialise les deux niveaux et leurs contributions.

Pour une fonction étagée, on regroupe les points par valeur et l’on additionne « valeur × mesure », comme dans l’exemple. Une somme de Riemann convient aussi lorsque la fonction est régulière ; le calcul de Lebesgue devient préférable quand le découpage par niveaux décrit mieux les ensembles concernés.

Lorsqu’une suite de fonctions mesurables converge, on cherche à savoir si la limite peut passer sous le signe intégral. Les théorèmes de convergence de Lebesgue donnent des critères précis ; une simple intuition graphique ne suffit pas lorsque les valeurs se concentrent ou deviennent grandes.

En analyse de Fourier et en probabilités, les fonctions rencontrées ne sont pas toujours continues. L’intégrale de Lebesgue est alors le cadre naturel dès que la mesurabilité est établie et que les conditions d’intégrabilité nécessaires sont vérifiées.

Intégrale de Riemann. Elle approche l’aire par des subdivisions de l’axe des abscisses. Sur [0,1], la fonction indicatrice des nombres rationnels n’est pas Riemann-intégrable, car chaque sous-intervalle contient des rationnels et des irrationnels. Elle est pourtant Lebesgue-intégrable et son intégrale vaut 0, puisque les rationnels forment un ensemble de mesure nulle.

Mesure de Lebesgue. La mesure attribue une taille à un ensemble mesurable ; l’intégrale attribue une valeur globale à une fonction mesurable en pondérant ses niveaux par cette taille. Ainsi, la mesure de [0,1] vaut 1, tandis que l’intégrale de la fonction f de l’exemple vaut 3/2.

Mesurable ne signifie pas intégrable. Une fonction positive mesurable peut avoir une intégrale infinie. Pour obtenir une intégrale réelle finie d’une fonction signée f, il faut vérifier que .

La différence ∞ − ∞ n’a pas de valeur. Si les parties positive et négative ont toutes deux une intégrale infinie, leur soustraction ne définit pas l’intégrale. Il faut étudier séparément ces deux parties ou changer de notion de convergence.

Changer une fonction sur un ensemble de mesure nulle ne change pas son intégrale. Dans l’exemple, attribuer 1 ou 2 au seul point 1/2 laisse la valeur 3/2 inchangée. Cela ne signifie pas que les deux fonctions sont égales en chaque point : elles sont égales presque partout.

Le passage à la limite exige des hypothèses. La convergence point par point ne suffit pas toujours pour échanger limite et intégrale. Il faut appliquer un résultat adapté, tel qu’une convergence monotone ou dominée, après en avoir vérifié toutes les conditions.

La mesure de Lebesgue précise la notion de taille utilisée pour intégrer sur la droite réelle.

La fiche fonction mesurable développe la condition qui rend compatibles niveaux de la fonction et ensembles mesurables.

Le théorème de convergence dominée de Lebesgue expose un critère central pour échanger limite et intégrale.

L’analyse de Fourier montre un domaine majeur où ce cadre d’intégration devient indispensable.