AnalyseThéorème · Glossaire
théorème de Lebesgue-Vitali
Sur un espace mesuré de mesure finie et pour 1 ≤ p < ∞, le théorème de Lebesgue-Vitali affirme qu'une suite de fonctions mesurables fₙ converge vers f dans Lᵖ si et seulement si elle converge en mesure vers f et si la famille |fₙ|ᵖ est uniformément intégrable. Ce contrôle empêche la masse Lᵖ de se concentrer sur des ensembles de plus en plus petits : il indique exactement quand la convergence en mesure suffit pour obtenir la convergence dans Lᵖ.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier convergence en mesure, uniforme intégrabilité des puissances p et convergence dans Lᵖ.
- Vérifier le théorème sur les fonctions xⁿ de l’intervalle [0,1].
- Reconnaître le pic concentré qui empêche une convergence dans Lᵖ.
- Distinguer le critère de Vitali de la convergence dominée et de la convergence uniforme.
En clair
Sur l’intervalle de 0 à 1, les courbes des fonctions x, x⁴, x¹⁶ s’écrasent progressivement vers l’axe horizontal, sauf tout près de 1. Elles convergent donc vers 0 presque partout et leur aire finit aussi par disparaître.
Le théorème de Lebesgue-Vitali précise le contrôle qui rend ce second passage légitime. La convergence en mesure décrit où l’écart reste visible ; l’équi-intégrabilité empêche qu’une quantité importante se concentre sur des ensembles de plus en plus petits. Réunies, ces deux informations donnent la convergence dans Lᵖ.
Définition
Soit un espace mesuré de mesure finie, et soit p un nombre réel tel que 1 ≤ p < ∞. On considère des fonctions mesurables fn et une fonction mesurable f. La convergence de fn vers f dans Lᵖ signifie que la norme de leur différence tend vers 0. Elle entraîne toujours la convergence en mesure.
Le théorème de Lebesgue-Vitali donne la réciproque exacte : la convergence dans Lᵖ équivaut à la convergence en mesure, accompagnée de l’uniforme intégrabilité de la famille des puissances |fn|ᵖ. Cette dernière propriété signifie que la contribution des valeurs très grandes devient uniformément négligeable. En notant μ la mesure, elle peut s’écrire .
Pour p = 1, il s’agit de l’uniforme intégrabilité usuelle des fonctions. Pour p > 1, contrôler seulement les fn ne suffit pas : il faut contrôler leurs puissances p. Le théorème de convergence dominée fournit un cas particulier : si fn converge en mesure vers f et si |fn| ≤ g pour une fonction g appartenant à Lᵖ, alors les puissances sont uniformément intégrables et la convergence a lieu dans Lᵖ.
Le principe
Sur un espace mesuré de mesure finie, soit p un réel avec 1 ≤ p < ∞. Si les fonctions mesurables fn convergent en mesure vers f et si la famille |fn|ᵖ est uniformément intégrable, alors f appartient à Lᵖ et fn converge vers f dans Lᵖ. Réciproquement, toute convergence dans Lᵖ donne ces deux propriétés.
En notant ||·||p la norme de Lᵖ, le verdict s’écrit .
Quand l'utiliser
Le critère s’applique ici à une suite de fonctions mesurables sur un même espace de mesure finie et à un exposant fixe p compris entre 1 inclus et l’infini exclu. Il faut d’abord établir la convergence en mesure. Il faut ensuite vérifier que les intégrales de |fn|ᵖ ne peuvent se concentrer dans des valeurs très hautes ou sur des ensembles de mesure arbitrairement petite.
La convergence en mesure seule est insuffisante. Sur [0,1], la fonction gn égale à n1/p sur [0,1/n] et à 0 ailleurs converge en mesure vers 0. Pourtant, : ses puissances ne sont pas uniformément intégrables. Dans ce cas, il faut démontrer un contrôle supplémentaire, par domination ou par estimation directe des queues.
Un exemple, pas à pas
On travaille sur l’intervalle [0,1] muni de sa longueur habituelle. L’exposant p est fixé avec 1 ≤ p < ∞. Pour chaque entier n ≥ 1, la fonction fn associe à x le nombre xn. La fonction limite f est nulle presque partout.
1. Pour tout x strictement inférieur à 1, xn tend vers 0. Cette convergence presque partout sur un espace de mesure finie entraîne ici la convergence en mesure.
2. Toutes les fonctions vérifient 0 ≤ fn ≤ 1. La fonction constante 1 appartient à Lᵖ sur [0,1] ; elle fournit donc une domination et garantit l’uniforme intégrabilité des puissances.
3. Le calcul de contrôle donne , puis .
4. Cette dernière quantité tend vers 0 : fn converge donc vers 0 dans Lᵖ, comme l’annonce le théorème. Pour refaire le contrôle, il suffit de prendre p = 1 : les aires valent exactement 1/(n + 1), donc 1/2, 1/5 et 1/17 pour n = 1, 4 et 16.
En pratique
Pour établir une convergence dans Lᵖ, on commence souvent par la convergence en mesure, plus accessible par une étude ponctuelle ou probabiliste. On cherche ensuite une estimation uniforme des grandes valeurs.
Lorsqu’une même fonction de Lᵖ domine toute la suite, le théorème de convergence dominée est le chemin le plus direct. Sans dominateur commun, Lebesgue-Vitali reste utilisable si une estimation de queues prouve l’uniforme intégrabilité des puissances p.
En probabilités, la mesure est déjà finie. Le critère sert alors à transformer une convergence en probabilité en convergence d’ordre p, dès que les moments d’ordre p ne se concentrent pas dans des événements rares et extrêmes.
À ne pas confondre
Convergence presque partout. Elle suit chaque point, à un ensemble négligeable près ; la convergence en mesure suit la taille de l’ensemble où l’écart dépasse un seuil. Sur un espace de mesure finie, la première entraîne la seconde, mais la réciproque peut exiger l’extraction d’une sous-suite.
Convergence uniforme. Elle exige que le plus grand écart sur tout le domaine tende vers 0. L’uniforme intégrabilité contrôle des intégrales, pas le maximum ponctuel : les fonctions xn ne convergent pas uniformément vers 0 sur [0,1], alors qu’elles convergent vers 0 dans tout Lᵖ fini.
Bornitude dans L¹. Une borne commune sur les intégrales ne suffit pas à assurer l’uniforme intégrabilité. Les pics gn concentrés sur [0,1/n] gardent une norme Lᵖ égale à 1 : leur masse ne disparaît pas, elle se resserre.
Limites et pièges
L’exposant infini est exclu. Le seuil p < ∞ est essentiel. La norme L∞ mesure un maximum essentiel ; une convergence en mesure assortie d’un contrôle intégral ne force pas ce maximum à tendre vers 0. Il faut alors prouver directement une convergence essentiellement uniforme.
Sur un espace de mesure infinie, la formulation doit être renforcée. Le seul contrôle des petits ensembles n’empêche pas la masse de partir au loin. Les indicatrices des intervalles [n,n + 1] sur la droite convergent localement en mesure vers 0, mais leur norme L¹ reste égale à 1. Il faut ajouter un contrôle uniforme des queues spatiales, ou employer une version adaptée du théorème.
Pour p > 1, le bon objet est |fn|ᵖ. Une famille de fonctions peut être uniformément intégrable dans L¹ sans que ses puissances p le soient. Les pics n1/p sur [0,1/n] illustrent exactement ce défaut : leur norme L¹ tend vers 0, mais l’intégrale de leur puissance p vaut toujours 1.
Pour aller plus loin
La Convergence en mesure détaille cette notion de convergence, adaptée au contrôle de la mesure des ensembles d’écart, qui constitue la première hypothèse du critère de Vitali.
Le théorème de convergence dominée de Lebesgue présente le cas où un dominateur commun fournit directement l’équi-intégrabilité requise.
L’intégrale de Lebesgue donne le cadre dans lequel les normes Lᵖ, les ensembles négligeables et ces passages à la limite sont définis.
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