AnalyseThéorème · Glossaire
théorème de convergence dominée de Lebesgue
Théorème fondamental de la théorie de la mesure, formulé dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue. Soit (fₙ) une suite de fonctions mesurables convergeant presque partout vers une fonction mesurable f. Si l'on dispose d'une fonction g intégrable servant de majorant commun à toute la suite, c'est-à-dire telle que |fₙ| ≤ g presque partout pour tout entier n, alors la fonction limite f est elle-même intégrable et la suite des intégrales ∫ fₙ converge vers ∫ f. L'hypothèse de domination par une fonction intégrable est essentielle : elle garantit à la fois l'intégrabilité de la limite et l'interversion de la limite et de l'intégrale. De ce résultat découlent des corollaires importants portant sur la continuité et la dérivabilité d'une fonction définie par une intégrale à paramètre.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les trois hypothèses qui autorisent le passage de la limite sous l’intégrale.
- Vérifier la domination et recalculer les intégrales de x puissance n sur [0, 1].
- Reconnaître une suite de pics pour laquelle la convergence presque partout ne suffit pas.
- Distinguer convergence dominée, convergence monotone, convergence uniforme et lemme de Fatou.
En clair
Imaginez une suite de courbes sur l’intervalle [0, 1]. À chaque étape, la courbe change, mais elle reste enfermée entre une courbe plafond et son opposée. Si ce plafond possède une aire finie, aucune masse ne peut s’échapper en se concentrant dans une pointe de plus en plus haute.
Lorsque les hauteurs des courbes se stabilisent presque partout, le théorème de convergence dominée affirme que leurs aires se stabilisent aussi. On peut alors calculer d’abord la limite des courbes, puis son intégrale, au lieu d’intégrer chaque courbe avant de passer à la limite.
Définition
Le théorème de convergence dominée est un résultat de théorie de la mesure pour l’intégrale de Lebesgue. Sur un espace mesuré X, on considère une suite de fonctions mesurables, notées fn, et une fonction mesurable f. La suite converge presque partout vers f lorsque, en dehors d’un ensemble de mesure nulle, la valeur fn(x) tend vers f(x) quand l’entier n grandit.
Il faut en outre une même fonction g, intégrable sur X, telle que pour tout n et presque tout point x. Sous ces hypothèses, f est intégrable. La mesure étant notée μ, la différence entre fn et f tend même vers zéro en moyenne intégrale : . Il en résulte que les intégrales de fn convergent vers celle de f.
Le mot « dominée » désigne ce contrôle commun par g. Le majorant ne dépend pas de n et son intégrale est finie ; une simple borne différente à chaque étape ne fournit pas la garantie du théorème.
Le principe
Soit X un espace mesuré. Si les fonctions mesurables fn convergent presque partout vers une fonction mesurable f, et s’il existe une fonction intégrable g telle que |fn| ≤ g presque partout pour chaque entier n, alors f est intégrable.
La mesure de X étant notée μ, la limite peut alors franchir le signe intégral :
Les intégrales et la convergence sont prises sur le même espace X.
Quand l'utiliser
Le cadre est celui d’un même espace mesuré X et de l’intégrale de Lebesgue. Première vérification : chaque fonction fn est mesurable et la suite possède une limite f presque partout.
Deuxième vérification : une seule fonction g majore toutes les valeurs absolues |fn|, au moins presque partout. Troisième vérification : g est intégrable, donc son intégrale absolue est finie. Ces trois contrôles donnent l’intégrabilité de f et la convergence des intégrales.
Sans majorant commun intégrable, le théorème ne s’applique pas. Sur [0, 1], la fonction fn qui vaut n entre 0 et 1/n, puis 0 ailleurs, tend presque partout vers 0, mais son intégrale reste égale à 1. Il faut alors calculer directement ou chercher un autre résultat, par exemple le lemme de Fatou pour des fonctions positives.
Un exemple, pas à pas
On suit des courbes sur [0, 1].
Donnée 1. Pour chaque entier n ≥ 1, la fonction est fn(x) = xn.
Donnée 2. La limite f vaut 0 sur [0, 1[ et 1 en x = 1.
Donnée 3. Le majorant choisi est g(x) = 1.
Donnée 1. Pour chaque entier n ≥ 1, la fonction est fn(x) = xn.
Donnée 2. La limite f vaut 0 sur [0, 1[ et 1 en x = 1.
Donnée 3. Le majorant choisi est g(x) = 1.
1. Vérifier la convergence. Si x est strictement inférieur à 1, xn tend vers 0 ; en x = 1, la valeur reste 1. La convergence vers f a lieu partout.
2. Vérifier la domination. Sur [0, 1], on a 0 ≤ xn ≤ 1. Le même g convient pour chaque n, et son intégrale vaut 1.
3. Calculer les intégrales. Une primitive de xn est xn+1/(n + 1), donc . Cette valeur tend vers 0.
4. Intégrer la limite. La fonction f est nulle sauf au point 1, de mesure nulle. Son intégrale vaut donc 0.
Pour n = 1, 5 et 20, les aires valent 1/2, 1/6 et 1/21. Le graphique montre leur diminution sous le plafond intégrable g = 1.
En pratique
Pour passer une limite sous une intégrale, on cherche d’abord la limite point par point, puis une borne intégrable valable pour toute la suite. Si cette borne manque, une convergence monotone de fonctions positives peut orienter vers le théorème de convergence monotone.
Pour établir la continuité d’une intégrale à paramètre, on fait tendre le paramètre vers une valeur choisie, on vérifie que les fonctions intégrées convergent presque partout vers celle associée à cette valeur et on les domine localement par un même g intégrable. Une estimation uniforme directe peut être plus simple lorsqu’elle est disponible.
Pour dériver une fonction définie par une intégrale, on vérifie les hypothèses usuelles : mesurabilité des fonctions intégrées, différentiabilité presque partout par rapport au paramètre et intégrabilité de la fonction pour une valeur de référence. On contrôle aussi, localement en paramètre, les dérivées par un même majorant intégrable. Sous ces hypothèses, la dérivation peut passer sous le signe intégral ; sinon, il faut examiner séparément l’échange envisagé.
À ne pas confondre
Le théorème de convergence monotone. Il demande une suite croissante de fonctions positives, pas un majorant intégrable commun. Une suite positive qui monte vers sa limite relève de ce critère ; la suite xn, décroissante sur [0, 1[, relève plutôt de la domination.
La convergence uniforme. Elle exige qu’un même rang rende l’erreur petite en tout point. La convergence de xn vers sa limite sur [0, 1] n’est pas uniforme, alors que le théorème de convergence dominée s’applique.
Le lemme de Fatou. Pour des fonctions positives, il fournit une inégalité portant sur l’intégrale de la limite inférieure. Si l’on cherche une égalité entre la limite des intégrales et l’intégrale de la limite, ses conclusions ne suffisent pas à elles seules.
Limites et pièges
La convergence presque partout ne suffit pas. Pour fn = n sur [0, 1/n] et 0 ailleurs, la limite vaut 0 presque partout, mais chaque intégrale vaut 1. Ce désaccord signale l’absence de domination intégrable ; il faut conserver le calcul direct ou employer un théorème adapté.
Le majorant doit être indépendant de n. Choisir gn = |fn| prouve seulement une borne différente à chaque rang. Il faut rechercher une fonction g unique dont l’intégrale est finie.
Les exceptions de mesure nulle sont permises. La convergence et la domination peuvent échouer sur un ensemble négligeable sans bloquer le théorème. Il faut toutefois identifier cet ensemble et vérifier que sa mesure est bien nulle, plutôt que l’ignorer par commodité.
Une borne constante n’est pas toujours intégrable. Sur un espace de mesure infinie, g = 1 possède une intégrale infinie et ne satisfait pas l’hypothèse. Le bon réflexe consiste à chercher un majorant qui décroît assez vite ou à restreindre le domaine si le problème l’autorise.
Pour aller plus loin
intégrale de Lebesgue. Situer le cadre d’intégration dans lequel la domination et les ensembles de mesure nulle prennent tout leur sens.
Presque partout. Préciser pourquoi une exception sur un ensemble de mesure nulle ne modifie pas la conclusion intégrale.
lemme de Fatou. Comparer l’inégalité disponible pour les fonctions positives avec l’égalité obtenue sous domination.
théorème de convergence monotone. Choisir un autre passage à la limite lorsque la suite est positive et croissante.
Intégrale à paramètre. Voir comment la domination établit continuité ou dérivabilité d’une fonction définie par une intégrale.
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