AnalyseNotion · Glossaire
Intégrale à paramètre
Une intégrale à paramètre est une fonction F(t) définie par l'intégrale de f(x, t) par rapport à x, où t est un paramètre. L'étude de la continuité, de la dérivabilité et de l'intégrabilité de F en fonction de t est l'objet des théorèmes sur les intégrales à paramètre. Le théorème de Lebesgue sur la continuité sous le signe intégral, et le théorème de dérivation sous le signe intégral (sous une hypothèse de domination), permettent d'échanger limite et intégrale. Ces résultats sont fondamentaux pour calculer des intégrales dépendant d'un paramètre.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle distinct de la variable d’intégration et du paramètre.
- Vérifier une hypothèse de domination avant de passer une limite sous l’intégrale.
- Calculer puis dériver une intégrale à paramètre sur un exemple complet.
- Reconnaître les cas où une convergence point par point ou une formule en 0/0 ne permet pas de conclure directement.
En clair
Imaginez une courbe dont la forme change quand on tourne un réglage. Pour chaque position du réglage, on calcule l’aire sous la courbe.
Le réglage est le paramètre ; l’aire obtenue devient une fonction de ce paramètre. Une intégrale à paramètre réunit ainsi toute une famille d’intégrales. Des conditions de domination garantissent que de petites variations du réglage entraînent des variations contrôlées de l’aire.
Définition
Soit x la variable d’intégration, parcourant un domaine X, et soit t un paramètre appartenant à un intervalle T. À une fonction de deux variables f, on associe la fonction F définie, lorsque l’intégrale existe, par . L’intégration élimine x, tandis que t demeure dans le résultat. On peut alors étudier la continuité, la dérivabilité ou l’intégrabilité de F par rapport à t.
Pour obtenir la continuité en une valeur t0, il ne suffit pas que f(x, t) tende vers f(x, t0) pour presque tout x. Une hypothèse suffisante classique consiste à supposer, au voisinage de t0, que x ↦ f(x, t) est mesurable pour chaque t, que f(x, t) tend vers f(x, t0) pour presque tout x lorsque t tend vers t0, et qu’il existe une fonction intégrable g, indépendante de t, telle que presque partout. Le théorème de convergence dominée de Lebesgue autorise alors le passage à la limite sous le signe intégral.
Pour dériver F au voisinage d’une valeur t0, on suppose que f(·, t0) est intégrable, que t ↦ f(x, t) est dérivable pour presque tout x, que sa dérivée partielle par rapport à t est mesurable en x et qu’elle est dominée, localement en t, par une fonction intégrable de x indépendante de t. On peut alors écrire . Ces hypothèses sont des garanties suffisantes : sans contrôle commun intégrable, échanger limite, dérivée et intégrale peut donner un résultat faux.
Un exemple, pas à pas
On étudie une famille de courbes exponentielles.
Donnée 1. La variable x parcourt l’intervalle [0, 1].
Donnée 2. Le paramètre t est un nombre réel.
Donnée 3. L’intégrande est f(x, t) = e−tx.
Donnée 4. La fonction cherchée est l’intégrale F(t) de cette courbe entre 0 et 1.
Donnée 1. La variable x parcourt l’intervalle [0, 1].
Donnée 2. Le paramètre t est un nombre réel.
Donnée 3. L’intégrande est f(x, t) = e−tx.
Donnée 4. La fonction cherchée est l’intégrale F(t) de cette courbe entre 0 et 1.
1. Écrire l’intégrale. Les données donnent .
2. Calculer lorsque t ≠ 0. Une primitive par rapport à x est −e−tx/t, donc .
3. Traiter t = 0. L’intégrande vaut alors 1 sur [0, 1], donc F(0) = 1. La formule précédente admet bien cette valeur par passage à la limite.
4. Dériver sous le signe intégral. La dérivée partielle vaut −xe−tx. Pour |t| ≤ 1 et x dans [0, 1], sa valeur absolue est au plus ex, qui est intégrable. Ainsi au voisinage de 0, et F′(0) = −1/2.
Le contrôle numérique donne F(0) = 1, F(1) = 1 − e−1 ≈ 0,632 et F(2) = (1 − e−2)/2 ≈ 0,432. Ces aires décroissent avec t, comme les courbes e−tx sur [0, 1]. La figure matérialise cette variation commune des courbes et de leurs aires.
En pratique
Quand une intégrale dépend d’une température, d’un temps ou d’un coefficient de modèle, le paramètre rassemble tous les cas dans une seule fonction. Calculer chaque cas séparément reste possible ; étudier F devient préférable dès que l’on cherche une variation globale.
Pour faire tendre le paramètre vers une valeur, on cherche d’abord une majoration intégrable commune. Si cette domination existe, le théorème de Lebesgue justifie le passage de la limite à l’intérieur de l’intégrale. Sinon, il faut conserver la limite à l’extérieur ou employer un argument adapté.
Pour mesurer la sensibilité au paramètre, on contrôle la dérivée partielle de l’intégrande. Une domination intégrable de cette dérivée autorise le calcul direct de F′. En son absence, un quotient de différences ou une étude spécifique est plus prudent qu’un échange formel.
À ne pas confondre
Variable d’intégration et paramètre. La variable x est parcourue puis disparaît après l’intégration ; le paramètre t reste dans F(t). Dans l’intégrale de e−tx sur [0, 1], x est intégré et t règle la courbe.
Intégrale à paramètre et intégrale impropre. La première est une famille indexée par t ; la seconde présente une borne infinie ou une singularité. L’intégrale sur [0, 1] de e−tx dépend d’un paramètre, mais elle n’est pas impropre.
Convergence simple et convergence dominée. Une convergence pour chaque x ne contrôle pas nécessairement les intégrales. La convergence dominée ajoute une même majoration intégrable ; c’est ce critère vérifiable qui autorise l’échange avec la limite.
Limites et pièges
La convergence point par point ne suffit pas. Sur [0, 1], la fonction valant n sur l’intervalle ]0, 1/n[ et 0 ailleurs tend vers 0 en chaque point, mais son intégrale vaut toujours 1. Le symptôme est une masse qui se concentre ; il faut une domination intégrable ou un autre théorème.
La domination doit être commune et intégrable. Une borne qui dépend librement de t ne contrôle pas le passage à la limite. Pour e−tx avec t ≥ 0 et x dans [0, 1], la borne commune 1 convient.
Dériver exige un contrôle supplémentaire. Dominer f ne suffit pas à dominer sa dérivée partielle. Dans l’exemple, pour t ≥ 0, |−xe−tx| ≤ x fournit précisément ce second contrôle ; sans analogue intégrable, il faut étudier le quotient de différences avant d’échanger dérivée et intégrale.
Une formule calculée peut masquer une valeur régulière. À t = 0, l’expression (1 − e−t)/t prend la forme 0/0, alors que l’intégrale initiale vaut 1. Il faut revenir à l’intégrale ou prendre la limite, et non déclarer F non définie.
Pour aller plus loin
théorème de convergence dominée de Lebesgue. Approfondir la condition qui autorise le passage d’une limite sous le signe intégral.
Lebesgue Henri. Situer le mathématicien auquel est associé le théorème de domination employé dans cette fiche.
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