Lebesgue Henri

En 1902, Henri Lebesgue soutient sa thèse Intégrale, longueur, aire. Son idée décisive change la manière d’additionner les valeurs d’une fonction : au lieu de découper seulement l’axe de départ en intervalles, on peut regrouper les points où la fonction prend des valeurs semblables, puis mesurer la taille de ces groupes.

Ce changement de point de vue donne l’intégrale de Lebesgue. Fondée sur la mesure développée à partir des travaux de Borel, elle étend l’intégration de Riemann à une classe beaucoup plus large de fonctions et devient un outil central de l’analyse moderne.

Henri Lebesgue est un mathématicien français né en 1875 et mort en 1941. Élève boursier à l’École Normale Supérieure, où il suit les cours de Borel, il est reçu à l’agrégation en 1897. Sa thèse de 1902, Intégrale, longueur, aire, développe l’intégrale qui porte aujourd’hui son nom. Sa carrière le conduit à Rennes, Poitiers, la Sorbonne en 1910, puis au Collège de France en 1921 ; il entre à l’Académie des sciences en 1922.

Mathématiquement, l’intégrale de Lebesgue s’appuie sur une mesure, c’est-à-dire une manière cohérente d’attribuer une taille à des ensembles. Pour une fonction simple non négative qui vaut la constante a_k sur chaque ensemble mesurable E_k d’une partition finie du domaine, son intégrale additionne chaque valeur pondérée par la mesure de l’ensemble correspondant :Pour une fonction mesurable non négative plus générale, on prend la borne supérieure des intégrales de toutes les fonctions simples placées sous elle. Une fonction réelle mesurable est intégrable lorsque l’intégrale de sa valeur absolue est finie.

Cette construction généralise l’intégrale de Riemann. Le cadre plus vaste fondé sur les mesures permet de retrouver les calculs de Riemann liés aux sommes de Darboux et d’étendre l’idée aux intégrales de Lebesgue-Stieltjes. Lebesgue applique sa théorie aux séries de Fourier et développe la transformation de Fourier. Son nom demeure attaché à de nombreux résultats fondamentaux de l’analyse et à des outils employés en physique mathématique.

Considérons l’intervalle [0, 1] muni de sa mesure de longueur. Une fonction f vaut 1 sur [0, 1/2) et 2 sur [1/2, 1]. Les deux ensembles ont chacun pour mesure 1/2. La figure rend visible le même calcul, d’abord par intervalles du domaine, puis par groupes de valeurs.

1. La fonction prend seulement deux valeurs. Le premier groupe, où f vaut 1, a pour longueur 1/2. Le second, où f vaut 2, a aussi pour longueur 1/2.

2. On multiplie chaque valeur par la mesure du groupe correspondant, puis on additionne :

3. Le contrôle géométrique donne le même résultat : les deux rectangles sous le graphe ont pour aires 1 × 1/2 et 2 × 1/2. Leur aire totale vaut exactement 3/2. Dans ce cas simple, les calculs de Lebesgue et de Riemann coïncident ; c’est la manière d’organiser l’addition qui change.

Pour intégrer une fonction en escalier, on repère ses valeurs distinctes, on mesure les ensembles où chacune est prise, puis on additionne les produits « valeur × mesure ». Un découpage en rectangles de Riemann reste souvent plus direct lorsque la fonction est régulière et donnée sur un intervalle.

En analyse moderne, l’intégrale de Lebesgue est privilégiée lorsque la fonction est irrégulière ou lorsqu’une suite de fonctions doit être étudiée par passage à la limite. Le premier geste est alors de vérifier que les ensembles considérés sont mesurables et que l’intégrale absolue est finie si l’on veut une valeur réelle finie.

Pour les séries et la transformation de Fourier, les outils issus de la théorie de Lebesgue permettent de formuler l’intégrabilité dans un cadre adapté. En physique mathématique, ce même langage sert lorsque les grandeurs étudiées ne se laissent pas traiter commodément par les seuls découpages de Riemann.

L’intégrale de Riemann organise d’abord le découpage du domaine en intervalles et encadre les aires par des sommes de Darboux. L’intégrale de Lebesgue s’appuie sur la mesure des ensembles de points associés aux valeurs de la fonction. Pour la fonction en escalier de l’exemple, les deux donnent 3/2, mais par deux organisations différentes du calcul.

La mesure de Lebesgue attribue une taille à des ensembles ; l’intégrale de Lebesgue additionne les valeurs d’une fonction en utilisant cette mesure. Dans l’exemple, 1/2 est la mesure de chacun des deux sous-intervalles, tandis que 3/2 est l’intégrale de la fonction.

Mesurabilité nécessaire. La définition exige que les ensembles utilisés par la fonction soient mesurables. Si cette condition échoue, la construction ordinaire de l’intégrale de Lebesgue ne s’applique pas ; il faut préciser un autre cadre au lieu d’attribuer arbitrairement une taille.

Valeur infinie et intégrabilité. Une fonction mesurable non négative peut avoir une intégrale égale à +∞. On ne la qualifie d’intégrable au sens usuel que si l’intégrale de sa valeur absolue est finie. Une valeur infinie n’est donc pas un nombre réel obtenu par le calcul.

Égalité presque partout. Modifier une fonction sur un ensemble de mesure nulle ne change pas son intégrale de Lebesgue. Cela ne signifie pas que les deux fonctions sont égales en chaque point : il faut annoncer explicitement que l’égalité vaut presque partout.

Extension, non remplacement automatique. Toute fonction intégrable au sens de Riemann sur un intervalle borné l’est aussi au sens de Lebesgue avec la même valeur, mais la réciproque est fausse. Lorsque les deux méthodes s’appliquent, le choix dépend du problème plutôt que d’une différence de résultat.

La fiche Borel Emile présente le mathématicien dont les cours et la théorie de la mesure ont compté dans le parcours intellectuel de Lebesgue.

La fiche série de Fourier prolonge l’un des domaines auxquels Lebesgue a appliqué sa théorie de l’intégration.