Intégrable

Tracez la droite qui représente la fonction f(x) = x entre 0 et 1, puis couvrez la surface située dessous avec des rectangles étroits. En prenant le bord gauche, les rectangles sous-estiment cette surface ; avec le bord droit, ils la surestiment.

Quand les rectangles deviennent de plus en plus fins, les deux estimations se rapprochent de 1/2. La fonction est intégrable au sens de Riemann parce que cette valeur ne dépend plus des points choisis dans les petits intervalles. L'intégrale donne alors une valeur précise à l'accumulation représentée par la surface.

Soit f une fonction réelle bornée sur l'intervalle compact [a, b]. Une subdivision découpe cet intervalle en segments ; dans chacun, on choisit un point et l'on multiplie la valeur de f en ce point par la largeur du segment. La fonction est intégrable au sens de Riemann si toutes ces sommes tendent vers un même nombre lorsque le pas maximal de la subdivision tend vers zéro, quels que soient les points choisis. Ce nombre est l'intégrale : ${\int }_a^{b}f(x)dx\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,dx$. Toute fonction continue par morceaux sur [a, b] satisfait ce critère.

Dans la théorie de Lebesgue, f doit être mesurable sur un ensemble E muni d'une mesure μ. Elle est intégrable lorsque l'intégrale de sa valeur absolue est finie : . Cette condition impose que les parties positive et négative aient toutes deux une intégrale finie ; l'intégrale de f est alors bien définie. Sur un intervalle compact, une fonction intégrable au sens de Riemann est aussi intégrable au sens de Lebesgue et les deux intégrales coïncident.

L'espace L¹(E) rassemble les classes de fonctions intégrables au sens de Lebesgue, deux fonctions étant identifiées lorsqu'elles sont égales presque partout. Avec la norme $\parallel f{\parallel }_1={\int }_E\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }d\mu \backslash lVert\; f\backslash rVert\_1=\backslash int\_E\; |f|\backslash ,d\backslash mu$, cet espace est complet : c'est un espace de Banach. La réciproque du passage de Riemann à Lebesgue est fausse ; une fonction de Lebesgue peut être trop discontinue pour être intégrable au sens de Riemann.

Étudions la fonction f(x) = x sur [0, 1]. Les données sont une subdivision en n intervalles de même largeur 1/n, la valeur gauche (k − 1)/n et la valeur droite k/n sur l'intervalle numéro k, pour k allant de 1 à n.

1. La somme obtenue avec les bords gauches vaut : $L_n=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\frac{k-1}{n}=\frac{n-1}{2n}L\_n=\backslash frac1n\backslash sum\_\{k=1\}^n\backslash frac\{k-1\}\{n\}=\backslash frac\{n-1\}\{2n\}$.

2. La somme obtenue avec les bords droits vaut : $U_n=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\frac{k}{n}=\frac{n+1}{2n}U\_n=\backslash frac1n\backslash sum\_\{k=1\}^n\backslash frac\{k\}\{n\}=\backslash frac\{n+1\}\{2n\}$. Pour quatre intervalles, la figure donne exactement L₄ = 3/8 et U₄ = 5/8.

3. L'écart vaut U_n − L_n = 1/n, donc il tend vers 0. Les deux sommes tendent vers 1/2 : l'intégrale de f sur [0, 1] vaut 1/2.

4. Le contrôle au sens de Lebesgue donne la même valeur, car f est positive : l'intégrale de |f| est celle de f, donc 1/2, une valeur finie. La fonction appartient ainsi à L¹([0, 1]).

Pour une fonction continue sur un intervalle fermé et borné, le cadre de Riemann suffit généralement : on peut calculer une aire signée par primitives ou par sommes approchées. Si la fonction n'est pas continue partout mais seulement par morceaux, on découpe l'intervalle aux points de rupture puis on additionne les intégrales.

Pour une fonction présentant beaucoup de discontinuités, on vérifie plutôt sa mesurabilité puis la finitude de l'intégrale de |f|. Le cadre de Lebesgue est préférable lorsque les approximations convergent presque partout ou que l'on veut ignorer un ensemble de mesure nulle.

Pour décider si une fonction appartient à L¹, il faut étudier sa valeur absolue, pas seulement les compensations entre valeurs positives et négatives. Sur un domaine non borné, le comportement à l'infini devient décisif ; près d'une singularité, on examine séparément l'intégrabilité locale.

Intégrable et continue. La continuité sur un intervalle compact garantit l'intégrabilité de Riemann, mais elle n'est pas nécessaire. Une fonction en escalier avec un saut reste intégrable : la présence d'une discontinuité ne suffit donc pas à conclure le contraire.

Intégrable et possédant une primitive. Une fonction peut être intégrable sans être la dérivée d'une fonction sur tout l'intervalle. Une fonction en escalier discontinue est intégrable, tandis qu'une dérivée possède la propriété des valeurs intermédiaires ; son saut exclut donc l'existence d'une primitive globale dont elle serait la dérivée.

Intégrable et intégrale impropre convergente. Une intégrale impropre peut converger grâce à des oscillations sans que la valeur absolue soit intégrable. Pour appartenir à L¹, il faut contrôler l'intégrale de |f|, et non la seule limite de compensations signées.

Domaine non compact. La continuité seule ne garantit plus une intégrale finie. La fonction constante égale à 1 est continue sur [0, +∞[, mais son intégrale y est infinie. Il faut alors traiter une intégrale impropre ou vérifier directement l'intégrabilité de Lebesgue.

Singularité. Sur l'intervalle ]0, 1], la fonction 1/√x est intégrable et son intégrale vaut 2, tandis que 1/x ne l'est pas : son intégrale diverge. Il faut examiner l'ordre de la singularité au lieu de rejeter toute fonction non bornée.

Valeurs sur un ensemble négligeable. Modifier une fonction de Lebesgue sur un ensemble de mesure nulle ne change ni son intégrale ni sa classe dans L¹. En revanche, l'intégrabilité de Riemann dépend de la structure de l'ensemble des discontinuités ; changer les valeurs sur un ensemble dense peut la détruire.

Convergence sans domination. Une suite de fonctions peut converger point par point sans que les intégrales convergent vers l'intégrale de la limite. Avant de permuter limite et intégrale, il faut vérifier les hypothèses d'un théorème de convergence adapté, par exemple une domination intégrable.

fonction continue — Approfondir la condition classique qui garantit l'intégrabilité de Riemann sur un intervalle compact.

espace de Banach — Situer la complétude de L¹ dans le cadre général des espaces vectoriels normés complets.