fonction absolument continue

Sur une courbe, choisissez plusieurs petits morceaux disjoints de l’axe horizontal. Leur nombre importe moins que leur longueur totale. Si cette longueur devient assez petite, une fonction absolument continue garantit que la somme des variations verticales correspondantes devient, elle aussi, aussi petite qu’on le souhaite. La fonction ne peut donc pas accumuler un déplacement visible sur un ensemble d’intervalles dont la longueur totale est minuscule. Cette maîtrise collective des variations est plus exigeante que la continuité point par point.

Une fonction numérique f est absolument continue sur l’intervalle fermé [a, b] lorsque la longueur totale de sous-intervalles disjoints contrôle uniformément la variation totale de leurs images. Plus précisément, ε désigne une marge positive imposée sur les variations de f. Il doit exister une longueur positive η telle que toute famille finie ou dénombrable d’intervalles disjoints [a_n, b_n] inclus dans [a, b] satisfasse l’implication suivante :

Sur un intervalle fermé, cette propriété entraîne la continuité uniforme et la variation bornée. Le théorème fondamental associé à Lebesgue donne aussi un critère équivalent : f est absolument continue exactement lorsqu’elle possède presque partout une dérivée intégrable et que, pour tout x de [a, b], $f(x)=f(a)+{\int }_a^x{f}^{\mathrm{\prime }}(t)dtf(x)=f(a)+\backslash int\_a^x\; f\text{'}(t)\backslash ,dt$. Autrement dit, les fonctions absolument continues sont précisément les primitives, à une constante additive près, des fonctions intégrables au sens de Lebesgue.

La définition articule quatre éléments. L’intervalle fermé [a, b] fixe le domaine. Une famille de sous-intervalles disjoints sélectionne plusieurs déplacements sans compter deux fois une même portion. Le nombre η constitue le budget total de longueur, tandis que ε fixe le budget de variation des valeurs de f.

Le choix de η dépend de ε, mais pas du nombre d’intervalles ni de leur position. C’est la somme des longueurs qui doit rester sous η ; cette condition entraîne alors une borne sur la somme des variations de f. Ces relations, et non l’allure lisse d’un tracé, définissent la continuité absolue. Elles suffisent notamment à contrôler la variation totale de f sur toute subdivision de [a, b].

Prenons la fonction f définie par f(x) = x² sur [0, 1]. Nous imposons ε = 1 et choisissons η = 1/2. Trois intervalles disjoints serviront au contrôle : [0, 0,1], [0,2, 0,35] et [0,7, 0,85]. Leurs longueurs respectives sont 0,1, 0,15 et 0,15.

1. Sur [0, 1], deux nombres x et y vérifient |x + y| ≤ 2. La factorisation de la différence donne donc $\mathrm{\mid }{x}^2-y^2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }x+y\mathrm{\mid }\le 2\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }|x^2-y^2|=|x-y|\backslash ,|x+y|\backslash leq\; 2|x-y|$.

2. Pour toute famille d’intervalles disjoints, la somme des variations de f est ainsi au plus deux fois la somme de leurs longueurs. Si cette dernière est strictement inférieure à η = 1/2, la somme des variations est strictement inférieure à ε = 1.

3. Dans la famille annoncée, la longueur totale vaut 0,1 + 0,15 + 0,15 = 0,4, donc 0,4 < 0,5.

4. Les trois variations valent 0,1² − 0² = 0,01 ; 0,35² − 0,2² = 0,0825 ; et 0,85² − 0,7² = 0,2325. Leur somme vaut 0,325, bien inférieure à 1.

Le contrôle ne repose pas sur ces trois intervalles particuliers : l’inégalité de l’étape 1 vaut pour tous les choix dans [0, 1]. La représentation de la parabole matérialise le budget horizontal total de 0,4 et les trois variations verticales totalisant 0,325.

Pour établir rapidement la continuité absolue, on peut chercher une constante L telle que |f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|. Une telle fonction, dite lipschitzienne, est absolument continue ; le choix η = ε/L convient lorsque L est positif. Si aucune constante globale n’existe, le critère intégral peut encore réussir.

Pour reconstruire une fonction à partir d’une densité intégrable g, on pose $F(x)=F(a)+{\int }_a^{x}g(t)dtF(x)=F(a)+\backslash int\_a^x\; g(t)\backslash ,dt$. La fonction F obtenue est absolument continue et sa dérivée égale g presque partout. Ce cadre est préférable à une simple inspection graphique.

Pour décider si le théorème fondamental du calcul s’applique sous cette forme, il faut contrôler l’identité intégrale sur tout l’intervalle. La seule existence d’une dérivée presque partout ne suffit pas ; en son absence, il faut conserver une formulation plus faible ou rechercher une partie singulière.

Continuité uniforme. Elle contrôle chaque paire de points séparément avec un même seuil, tandis que la continuité absolue contrôle la somme des variations sur plusieurs intervalles disjoints. La fonction de Cantor est uniformément continue sur [0, 1], mais elle n’est pas absolument continue.

Variation bornée. Elle exige seulement une borne globale pour les sommes de variations le long des subdivisions. La fonction de Cantor est croissante, donc de variation bornée, sans être absolument continue : la petitesse de la longueur totale ne force pas chez elle la petitesse des variations.

Fonction lipschitzienne. Une borne linéaire |f(x) − f(y)| ≤ L|x − y| suffit à assurer la continuité absolue, mais elle n’est pas nécessaire. Sur [0, 1], la fonction racine carrée est absolument continue, alors qu’aucune constante de Lipschitz ne contrôle sa pente près de 0.

Dérivée presque partout insuffisante. La fonction de Cantor a une dérivée nulle presque partout, mais elle passe de 0 à 1. Intégrer cette dérivée donnerait toujours 0 : l’identité intégrale requise échoue, donc la fonction n’est pas absolument continue.

Valeurs absolues indispensables. Les accroissements signés peuvent s’annuler entre eux et masquer une grande variation. Le critère porte sur la somme des quantités |f(b_n) − f(a_n)| ; il ne faut pas enlever ces valeurs absolues.

Seuil strict. Le critère demande une longueur totale strictement inférieure à η. Dans l’exemple, 0,4 < 0,5 permet de conclure ; une somme égale à 0,5 ne satisfait pas ce choix précis du seuil, même si un autre argument peut traiter la famille.

Intervalle non compact. Être absolument continue sur chaque sous-intervalle fermé d’un intervalle ouvert est une propriété locale. Elle n’offre pas automatiquement un unique contrôle η valable sur l’intervalle entier ; il faut vérifier séparément la propriété globale recherchée.

Intégrale de Lebesgue — Pour approfondir l’intégrale qui caractérise les fonctions absolument continues par leur dérivée.

Continuité uniforme — Pour étudier la propriété plus faible obtenue en contrôlant une paire de points à la fois.