loi de probabilité continue

Imaginez que l'on mesure un temps d'attente. Entre 3 et 4 minutes, une infinité de durées sont possibles : 3,2 minutes, 3,21 minutes, et ainsi de suite. Une loi de probabilité continue répartit les chances sur tout un continuum de valeurs.

La chance d'obtenir une valeur isolée, exactement 3 minutes par exemple, est nulle. Pour étudier une probabilité, on regarde un intervalle, notamment un intervalle qui rencontre le support de la loi. Une courbe appelée densité indique alors où les valeurs se concentrent, et l'aire sous cette courbe donne la probabilité de l'intervalle, qui peut aussi être nulle.

Dans l'usage élémentaire, une loi de probabilité continue sur la droite réelle est une loi qui admet une densité de probabilité. Cette densité, notée $ff$, est une fonction mesurable positive dont l'intégrale sur la droite réelle vaut 1. Elle décrit la manière dont la masse totale de probabilité se répartit entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire réelle, notée $XX$.

Pour deux nombres réels $aa$ et $bb$ tels que $a\le ba\backslash le\; b$, la probabilité de l'intervalle se calcule par $P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dxP(a\backslash le\; X\backslash le\; b)=\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,dx$. En particulier, chaque valeur isolée a une probabilité nulle. La fonction de répartition, notée $FF$, vérifie $F(x)=P(X\le x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)dtF(x)=P(X\backslash le\; x)=\backslash int\_\{-\backslash infty\}^x\; f(t)\backslash ,dt$. Elle est absolument continue et sa dérivée est égale à la densité presque partout.

Les lois uniforme, normale, exponentielle, bêta et gamma sont des familles usuelles admettant une densité. Dans un cadre plus général, une loi peut ne charger aucun point sans admettre de densité : l'expression « loi continue » doit donc être interprétée selon la convention du contexte.

Soit une variable aléatoire réelle $XX$ possédant une densité $ff$. Si $f(x)\ge 0f(x)\backslash ge\; 0$ pour presque tout nombre réel $xx$ et si ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=1\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}f(x)\backslash ,dx=1$, alors la probabilité d'un intervalle s'obtient en intégrant la densité sur cet intervalle :

Les bornes peuvent être incluses ou exclues sans changer le résultat, puisque chaque singleton a une probabilité nulle.

Le calcul par aire s'applique à une variable aléatoire réelle dont la loi admet une densité. Il faut disposer d'une fonction mesurable, positive ou nulle presque partout, et d'intégrale totale égale à 1. L'intervalle étudié doit aussi appartenir au domaine où la densité est définie, quitte à prolonger celle-ci par zéro hors du support.

Pour une variable qui compte un nombre entier d'événements, comme 0, 1 ou 2 occurrences, des valeurs isolées peuvent avoir une probabilité positive. Une densité intégrée sur un intervalle n'est alors pas l'outil adapté : il faut employer une loi discrète et additionner les probabilités des valeurs concernées. Une loi sans atome mais sans densité demande, elle, sa fonction de répartition ou sa mesure de probabilité.

Une variable aléatoire $XX$ suit la loi uniforme sur l'intervalle [2, 6]. Sa densité vaut 1/4 entre 2 et 6, et 0 ailleurs. On cherche la probabilité que $XX$ soit comprise entre 3 et 5.

1. La densité est bien normalisée : le rectangle complet a pour largeur 6 − 2 = 4 et pour hauteur 1/4, donc son aire vaut 4 × 1/4 = 1.

2. L'intervalle demandé a pour largeur 5 − 3 = 2. Sur tout cet intervalle, la densité reste égale à 1/4.

3. On intègre la densité entre 3 et 5 : $P(3\le X\le 5)={\int }_3^5\frac{1}{4}dx=\frac{1}{2}P(3\backslash le\; X\backslash le\; 5)=\backslash int\_3^5\; \backslash frac14\backslash ,dx=\backslash frac12$.

La probabilité cherchée vaut donc exactement 1/2, soit 50 %. Le contrôle est immédiat : l'intervalle [3, 5] occupe la moitié de la longueur de [2, 6], et une loi uniforme attribue la même densité à toute cette plage.

Une représentation de la densité rend visible ce calcul : la zone correspondant à [3, 5] couvre exactement la moitié du rectangle total.

Pour modéliser une mesure susceptible de prendre toute valeur dans une plage, on choisit une loi continue adaptée au phénomène. Une loi uniforme convient lorsque la densité doit rester constante sur un intervalle borné ; une loi normale ou exponentielle traduit une autre forme de concentration.

Pour calculer une chance entre deux seuils, on repère les bornes, puis on intègre la densité. Si la fonction de répartition est déjà connue, la différence de ses valeurs aux deux bornes donne le même résultat.

Pour des données qui sont des comptes entiers, on vérifie d'abord si une loi discrète est plus fidèle. Le signe observable est simple : si des valeurs isolées portent une probabilité positive, additionner leurs masses remplace le calcul d'une aire.

Densité et probabilité. La valeur $f(x)f(x)$ est une hauteur, pas la probabilité du point $xx$. Une densité peut même dépasser 1 sur une petite plage, tandis que l'intégrale totale reste égale à 1.

Densité et fonction de répartition. La densité décrit localement la concentration ; la fonction de répartition donne directement $P(X\le x)P(X\backslash le\; x)$. Pour un intervalle [3, 5], on intègre la première ou on soustrait deux valeurs de la seconde.

Loi continue et loi discrète. Dans une loi à densité, tout singleton a une probabilité nulle. Dans une loi discrète, une valeur isolée peut avoir une masse positive : la probabilité d'un ensemble se calcule alors par une somme, non par une aire.

Sans atome ne signifie pas toujours avec densité. Une loi peut attribuer une probabilité nulle à chaque singleton sans être représentable par une densité. La loi de Cantor fournit ce cas charnière. Il faut alors travailler avec la mesure ou la fonction de répartition, et non chercher une intégrale de densité ordinaire.

La dérivée n'existe pas forcément partout. Pour une loi à densité, la fonction de répartition est absolument continue et sa dérivée vaut la densité presque partout. Aux points où la dérivée manque, on conserve l'identité intégrale au lieu d'imposer une égalité ponctuelle.

La densité n'est pas unique point par point. Modifier sa valeur en un point, par exemple en 2 à la borne de la loi uniforme sur [2, 6], ne change aucune intégrale et donc aucune probabilité. Deux densités égales presque partout décrivent la même loi.

Une borne incluse ne crée pas de masse. Pour une loi à densité, les intervalles [3, 5], ]3, 5[, [3, 5[ et ]3, 5] ont la même probabilité. Si ces résultats diffèrent, la loi comporte une masse ponctuelle et n'est pas entièrement décrite par une densité.

densité de probabilité — Approfondir les conditions sur la fonction dont l'intégrale représente les probabilités.

fonction de répartition — Relier les probabilités cumulées à l'intégrale de la densité.

loi exponentielle — Étudier une famille continue usuelle et sa densité sur les valeurs positives.

variable aléatoire — Revenir à l'objet dont la loi décrit la répartition des valeurs possibles.