GéométrieUnité de mesure · Glossaire
Diffuse (mesure)
Une mesure est dite diffuse si elle n'attribue aucune masse strictement positive à un ensemble réduit à un seul point. Autrement dit, pour tout point x de l'espace, la mesure du singleton {x} est nulle. La mesure de Lebesgue sur la droite réelle est un exemple typique de mesure diffuse, par opposition aux mesures discrètes ou aux mesures portées par un ensemble dénombrable de points.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître le critère qui impose une masse nulle à chaque singleton.
- Refaire la vérification sur l'intervalle [0 ; 1] muni de la mesure de Lebesgue.
- Distinguer mesure diffuse, mesure discrète et mesure absolument continue.
- Repérer la nuance entre absence de masses ponctuelles et absence d'atomes dans un espace général.
En clair
Imaginez le segment allant de 0 à 1. Sa longueur totale vaut 1, et chacun de ses quatre quarts a une longueur de 1/4. En revanche, un point isolé, comme 1/2, n'a aucune longueur : sa mesure vaut 0.
La longueur est ainsi répartie sans qu'un point particulier en reçoive une part positive. C'est l'idée d'une mesure diffuse. Elle peut donner une masse positive à un intervalle ou à un ensemble étendu, tout en donnant zéro à chaque singleton.
Définition
Soit un espace X muni d'ensembles mesurables, et soit μ une mesure sur ces ensembles. Dans le sens retenu ici, μ est diffuse lorsque chaque singleton mesurable a une masse nulle. Pour tout point x de X, le critère s'écrit : . Il ne dit pas que tous les ensembles ont une mesure nulle : une réunion non dénombrable de singletons peut avoir une masse positive.
La mesure de Lebesgue, qui formalise la longueur sur la droite réelle, vérifie ce critère. À l'inverse, une mesure discrète place une masse positive sur au moins certains points. Une mesure positive non nulle portée par un ensemble dénombrable ne peut donc pas être diffuse : sa masse totale est la somme des masses de ses points, et l'une d'elles doit être positive.
Le mot atome possède aussi une définition plus générale : c'est un ensemble mesurable de masse positive qui ne contient pas de sous-ensemble mesurable de masse strictement intermédiaire. Sur un espace mesurable quelconque, l'absence de masse ponctuelle et l'absence d'atomes ne sont pas toujours équivalentes.
Où on le rencontre
On rencontre une mesure diffuse lorsqu'une longueur, une aire ou une probabilité est répartie sur un continuum de positions. Plusieurs indices orientent la lecture : les points isolés portent une masse nulle, des intervalles peuvent avoir une masse positive, une subdivision partage la masse entre plusieurs morceaux et aucun point n'est signalé par un poids positif.
Ces indices ne remplacent pas le critère mathématique. Un dessin sans point marqué ne prouve rien à lui seul ; il faut connaître la mesure et calculer ce qu'elle attribue aux singletons.
Le mode d'emploi
La grandeur à lire est la masse attribuée par la mesure à un ensemble. La convention essentielle est le choix des ensembles mesurables : le test ne porte que sur les singletons qui appartiennent à ce domaine.
1. On identifie l'espace X, la mesure μ et son domaine.
2. On choisit un point x et on évalue la masse du singleton {x}.
3. On vérifie que le résultat vaut 0 pour tout x, et pas seulement pour quelques points.
4. Si l'on veut conclure à l'absence d'atomes au sens général, on contrôle séparément qu'aucun ensemble de masse positive n'est indivisible par des sous-ensembles mesurables.
2. On choisit un point x et on évalue la masse du singleton {x}.
3. On vérifie que le résultat vaut 0 pour tout x, et pas seulement pour quelques points.
4. Si l'on veut conclure à l'absence d'atomes au sens général, on contrôle séparément qu'aucun ensemble de masse positive n'est indivisible par des sous-ensembles mesurables.
Un pic visible peut tromper l'œil : lorsqu'une mesure possède une densité, une valeur élevée de cette densité en un point ne crée pas automatiquement une masse ponctuelle. Le bon réflexe consiste à mesurer le singleton, plutôt qu'à lire seulement la hauteur du graphe.
Un exemple, pas à pas
On considère l'intervalle [0 ; 1] muni de la mesure de Lebesgue, notée λ. Les données sont sa longueur totale 1, les quatre sous-intervalles de longueur 1/4 et le point 1/2.
1. L'intervalle entier a pour mesure .
2. Chacun des quatre quarts a une longueur 1/4, donc une mesure 1/4. Leur somme redonne 4 × 1/4 = 1.
3. Le singleton {1/2} a une longueur nulle. Ainsi, . Le même calcul vaut pour n'importe quel réel de [0 ; 1].
4. Le résultat est donc que λ est diffuse sur [0 ; 1] : chaque point a une masse nulle, tandis que l'intervalle total a une masse 1. Le contrôle consiste à additionner les quatre mesures 1/4 et à constater que retirer ou ajouter un seul point ne change pas une longueur.
En pratique
Pour modéliser une position choisie sur [0 ; 1] par une loi uniforme, on emploie une mesure diffuse : chaque intervalle reçoit une probabilité proportionnelle à sa longueur, mais chaque valeur exacte a une probabilité nulle.
Pour décrire des issues isolées auxquelles on veut attribuer des probabilités positives, une mesure discrète convient mieux. Le critère observable est l'existence de points dotés d'un poids propre.
Quand une situation combine une répartition continue et des valeurs ponctuelles privilégiées, une mesure purement diffuse perd cette information. On utilise alors une mesure comportant une partie diffuse et une partie atomique.
À ne pas confondre
Mesure diffuse et mesure absolument continue. Une mesure absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue donne zéro à tout ensemble de mesure de Lebesgue nulle ; ce critère est plus exigeant que l'annulation sur les seuls singletons. Une mesure diffuse n'a donc pas nécessairement une densité.
Masse nulle et ensemble vide. Un singleton contient bien un point, même lorsque sa mesure vaut 0. Dans [0 ; 1], {1/2} n'est pas vide, mais sa longueur est nulle.
Mesure diffuse et mesure discrète. Le test porte sur les poids ponctuels : la mesure de Lebesgue donne zéro au singleton {1/2}, tandis qu'une mesure discrète peut lui attribuer un poids strictement positif.
Limites et pièges
Le seuil décisif est 0. Une masse ponctuelle aussi petite soit-elle, dès qu'elle est strictement positive, suffit à faire échouer le critère de diffusion. Il faut calculer la valeur exacte, et non conclure qu'un poids négligeable est nul.
Une réunion non dénombrable change la lecture. Une réunion finie ou dénombrable de singletons de masse nulle reste de masse nulle. En revanche, [0 ; 1] est une réunion non dénombrable de points et sa mesure de Lebesgue vaut 1. Il ne faut pas additionner naïvement une famille non dénombrable de zéros.
Le vocabulaire dépend du cadre. Dans certains espaces mesurables, tous les singletons ont une masse nulle alors qu'un atome non ponctuel existe. Pour employer « non atomique » au sens fort, il faut tester tous les ensembles de masse positive, pas seulement les points.
Probabilité nulle ne signifie pas événement vide. Sous une loi uniforme sur [0 ; 1], une valeur exacte finit pourtant par être observée, bien que chacune ait une probabilité nulle. Il faut distinguer impossibilité logique et mesure nulle.
Pour aller plus loin
La fiche mesure de Lebesgue précise la mesure de longueur qui fournit l'exemple canonique d'une mesure diffuse.
La fiche singleton revient sur l'ensemble réduit à un point auquel s'applique le critère de diffusion.
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