AnalyseNotion · Glossaire
Radon-Nikodym (dérivée de)
La dérivée de Radon-Nikodym indique comment comparer une mesure ν à une mesure de référence μ : c'est le facteur local qui permet de reconstruire ν en pondérant μ. Sous les hypothèses usuelles du théorème — μ et ν positives σ-finies, avec ν absolument continue par rapport à μ — ce facteur existe sous la forme d'une fonction mesurable. L'intuition est développée dans « En clair » ; les conditions, la formule intégrale et le lien avec les densités de probabilité sont précisés dans « Définition ».
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l'absolue continuité requise entre les deux mesures.
- Lire la formule intégrale qui caractérise la dérivée.
- Calculer la densité sur un espace fini à trois points.
- Reconnaître l'unicité presque partout et les cas où la représentation échoue.
En clair
Imaginez trois points auxquels deux balances attribuent des poids différents. Si la première balance donne un poids nul à un groupe, la seconde doit aussi lui donner un poids nul. On peut alors décrire le passage de la première mesure à la seconde par un facteur local sur chaque point.
Ce facteur est la dérivée de Radon-Nikodym. En additionnant ses valeurs, pondérées par la première mesure, on retrouve la mesure du groupe selon la seconde.
Définition
Soient deux mesures positives, notées μ et ν, définies sur le même espace mesurable. La mesure ν est absolument continue par rapport à μ, ce que l'on note , lorsque tout ensemble mesurable de mesure μ nulle a aussi une mesure ν nulle.
Dans le cadre usuel où μ et ν sont σ-finies, le théorème de Radon-Nikodym assure l'existence d'une fonction mesurable positive f telle que, pour tout ensemble mesurable A :
La fonction f est la dérivée de Radon-Nikodym de ν par rapport à μ, notée . Elle est unique à une égalité μ-presque partout près : modifier f sur un ensemble de mesure μ nulle ne change aucune des intégrales.
Sur un ensemble fini, lorsque chaque point considéré a une masse μ strictement positive, f est simplement le rapport entre sa masse pour ν et sa masse pour μ. Pour une probabilité possédant une densité par rapport à la mesure de Lebesgue, cette densité est précisément une dérivée de Radon-Nikodym.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'ensemble formé des trois points a, b et c. La mesure μ leur attribue respectivement les masses 2, 1 et 3. La mesure ν leur attribue les masses 1, 2 et 3. Toutes les masses de μ sont strictement positives ; ainsi, ν est absolument continue par rapport à μ.
1. Au point a, le facteur local vaut .
2. Au point b, il vaut . Au point c, il vaut . La figure rassemble ces trois rapports et les masses dont ils proviennent.
3. Pour le sous-ensemble formé de a et b, l'intégrale par rapport à μ est une somme pondérée :
4. Le contrôle est direct : . Le résultat coïncide bien avec l'intégrale, comme l'exige la définition.
En pratique
En probabilité, on choisit une mesure de référence, puis on exprime une loi par sa densité. Par rapport à la mesure de Lebesgue, ce geste produit la densité usuelle d'une variable continue.
Sur un espace discret, on compare les masses point par point. Lorsque la mesure de référence attribue une masse positive à chaque point utile, le quotient des masses donne directement la dérivée.
Pour changer de mesure dans une intégrale, on multiplie l'intégrande par la densité appropriée. Si l'absolue continuité échoue, aucun tel facteur ne peut représenter toute la seconde mesure ; dans le cadre σ-fini, on sépare alors sa partie absolument continue de sa partie singulière.
À ne pas confondre
Dérivée ordinaire d'une fonction. Elle mesure une variation par rapport à une variable. La dérivée de Radon-Nikodym compare deux mesures : dans l'exemple, ses valeurs sont des rapports de masses, sans calcul de pente.
Densité de probabilité. C'est un cas particulier, obtenu lorsqu'une mesure de probabilité est comparée à une mesure de référence. Une dérivée de Radon-Nikodym peut comparer des mesures qui ne sont pas des probabilités, comme μ et ν dans l'exemple, dont la masse totale vaut 6.
Continuité d'une fonction. L'absolue continuité ν par rapport à μ porte ici sur les ensembles de mesure nulle. Elle ne signifie pas qu'une fonction associée varie sans saut.
Limites et pièges
Un ensemble nul pour μ porte une masse positive pour ν. C'est le symptôme immédiat d'un échec de l'absolue continuité. Sur trois points, si μ(a) = 0 mais ν(a) = 1, aucun rapport fini en a ne peut restituer ν par intégration contre μ.
La valeur ponctuelle n'est pas toujours déterminée. Deux versions de la dérivée peuvent différer sur un ensemble de mesure μ nulle tout en définissant exactement la même mesure ν. Il faut donc parler d'unicité μ-presque partout, et non point par point.
Les hypothèses d'existence comptent. La seule relation d'absolue continuité ne suffit pas dans tous les cadres de mesures arbitraires. Le théorème standard employé ici suppose des mesures positives σ-finies ; hors de ce cadre, il faut vérifier la version exacte du théorème avant d'affirmer l'existence d'une densité.
Pour aller plus loin
intégrale de Lebesgue — Pour approfondir l'intégration qui transforme la densité en mesure sur chaque ensemble mesurable.
densité de probabilité — Pour retrouver le cas probabiliste familier et relier aire sous la courbe et probabilité.
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