théorème de Lebesgue-Fubini

Imaginez une plaque carrée dont chaque point porte une valeur. Pour additionner toutes ces valeurs, on peut d'abord parcourir chaque colonne, puis additionner les résultats obtenus. On peut aussi commencer par les lignes.

Le théorème de Lebesgue-Fubini garantit que ces deux parcours donnent le même total lorsque la fonction est intégrable sur l'ensemble du produit. Il transforme ainsi une intégrale à deux variables en deux calculs successifs à une variable.

Le théorème de Lebesgue-Fubini porte sur une fonction définie sur un espace produit. Soient X et Y deux espaces munis respectivement des mesures σ-finies μ et ν. Leur produit X×Y est muni de la mesure produit, notée ici ς. Une fonction réelle f sur X×Y est intégrable lorsque la valeur absolue |f| a une intégrale finie sur cet espace.

Pour presque tout x de X, on peut alors intégrer la fonction de y obtenue en gardant x fixe. Le résultat dépend de x et forme une nouvelle fonction, elle-même intégrable sur X. La construction symétrique consiste à garder y fixe, à intégrer en x, puis à intégrer le résultat en y.

Les deux intégrales itérées existent et valent l'intégrale de f sur X×Y :L'expression « presque tout » autorise des valeurs exceptionnelles situées dans un ensemble de mesure nulle ; elles ne changent pas l'intégrale.

Si X et Y sont munis de mesures σ-finies et si la fonction mesurable f définie sur X×Y est intégrable pour la mesure produit ς, autrement dit si l'intégrale de |f| est finie, alors ses intégrales partielles sont définies presque partout et les fonctions ainsi obtenues sont intégrables.

On peut donc calculer dans l'un ou l'autre ordre :La première intégration traite une variable en maintenant l'autre fixe ; la seconde additionne les résultats partiels.

La fonction f doit être mesurable sur l'espace produit et intégrable pour sa mesure produit. Le test décisif est l'intégrabilité absolue :Cette condition garantit à la fois l'existence presque partout des intégrales partielles, leur intégrabilité et l'égalité des deux ordres.

Si l'intégrale de |f| est infinie, le simple fait que certains calculs successifs existent ne suffit pas à autoriser leur permutation. Pour une fonction mesurable partout positive, le théorème de Tonelli est l'outil adapté : les intégrales peuvent alors prendre la valeur +∞. Pour une fonction de signe variable, il faut établir une autre justification avant de changer l'ordre.

Sur le carré [0,1]×[0,1], prenons la fonction f définie par f(x,y)=x+y et la mesure usuelle d'aire. Les données sont donc deux variables comprises entre 0 et 1 et une fonction continue, donc intégrable sur ce carré. Le schéma matérialise les deux découpages successifs possibles.

1. En gardant x fixe, l'intégration par rapport à y donne :

2. On intègre ensuite ce résultat par rapport à x :

3. Dans l'autre ordre, garder y fixe donne d'abord ${\int }_0^1(x+y)dx=y+\frac{1}{2}\int \_0^1(x+y)\backslash ,dx=y+\backslash frac12$, puis :

4. Les deux ordres donnent exactement 1. Un contrôle indépendant consiste à séparer x+y : l'intégrale de x sur le carré vaut 1/2, celle de y vaut aussi 1/2, et leur somme vaut 1.

Pour calculer une intégrale double sur un rectangle, on choisit l'ordre qui simplifie l'intégrale intérieure. Si les bornes ou la formule sont plus simples en y, on intègre d'abord en y ; sinon, on commence en x.

En probabilité, une densité jointe peut être intégrée suivant une variable pour obtenir une densité marginale, puis suivant l'autre pour retrouver la masse totale. La non-négativité oriente alors souvent vers Tonelli.

Pour contrôler un changement d'ordre avec une fonction de signe variable, on examine d'abord l'intégrale de |f|. Si elle est finie, Fubini autorise la permutation ; si elle diverge, l'ordre ne doit pas être changé automatiquement.

Sur les espaces munis de mesures σ-finies considérés ici, le théorème de Tonelli concerne une fonction mesurable non négative et autorise des intégrales valant +∞. Lebesgue-Fubini, dans la forme présentée ici, suppose l'intégrabilité absolue et conclut à des valeurs finies. Une fonction positive d'intégrale infinie relève de Tonelli, pas de cette forme de Fubini.

Un changement de variables remplace les coordonnées et introduit en général un facteur jacobien. Un changement d'ordre conserve la fonction et la mesure, mais permute les intégrations. Si de nouvelles coordonnées apparaissent, il ne s'agit plus d'une simple application de Fubini.

Intégrabilité absolue absente. Si l'intégrale de |f| vaut +∞, des intégrales successives peuvent sembler calculables sans que leur permutation soit licite. Il faut conserver l'ordre justifié ou établir un autre théorème applicable.

Sections exceptionnelles. L'intégrale intérieure peut ne pas exister pour certains x ou certains y. Fubini garantit son existence presque partout, non en chaque point. On peut choisir une valeur arbitraire sur l'ensemble exceptionnel de mesure nulle sans modifier l'intégrale extérieure.

Domaine non rectangulaire. Fubini porte sur un espace produit. Pour une région triangulaire du plan, on la décrit dans un rectangle au moyen de sa fonction indicatrice, ou l'on réécrit correctement les bornes qui dépendent de l'autre variable.

Valeur infinie. Une égalité contenant +∞ ne prouve pas que f est intégrable. Pour une fonction positive, Tonelli peut encore comparer les trois intégrales ; pour une fonction signée, les parties positive et négative ne doivent pas conduire à la forme indéterminée +∞−∞.

La fiche intégrale de Lebesgue précise la notion d'intégrabilité qui fonde l'hypothèse centrale de Fubini.

La fiche mesure de Lebesgue donne le cadre qui généralise longueur, aire et volume dans l'exemple du carré.

La fiche Tonelli (théorème de) prolonge le changement d'ordre aux fonctions mesurables non négatives, y compris lorsque l'intégrale est infinie.