Fubini Guido

En 1900, à Pise, Guido Fubini soutient une thèse de géométrie sur le parallélisme de Clifford dans les espaces elliptiques. Le jeune Vénitien se fait aussitôt connaître, puis enseigne à Catane, Gênes et Turin. Ses recherches parcourent la géométrie, l’analyse et, après la Première Guerre mondiale, davantage de mathématiques appliquées.

Son nom reste surtout attaché à une idée de calcul : pour additionner une grandeur sur une surface, on peut parfois avancer ligne après ligne, dans un ordre ou dans l’autre. Le théorème de Fubini précise quand ces deux parcours donnent bien le même total.

Guido Fubini est un mathématicien italien né à Venise en 1879 et mort en 1943. Fils d’un professeur de mathématiques, il étudie à l’École normale supérieure de Pise auprès d’Ulisse Dini et de Luigi Bianchi. Sa thèse de 1900 porte sur le parallélisme de Clifford dans les espaces elliptiques. Il enseigne ensuite à Catane, Gênes et Turin. Ses travaux concernent les équations différentielles, l’analyse fonctionnelle et complexe, le calcul des variations, la théorie des groupes, les géométries non euclidienne et projective, puis davantage les mathématiques appliquées à partir de la Première Guerre mondiale.

Dans sa forme plane courante, son résultat le plus célèbre concerne deux intervalles X et Y, leur rectangle produit D, et une fonction mesurable f sur D. La variable x parcourt X, la variable y parcourt Y et le symbole dA désigne l’élément d’aire. Si la valeur absolue de f est intégrable, alors f est intégrable et son intégrale double peut être calculée par deux intégrales successives, dans l’un ou l’autre ordre :Chaque intégrale intérieure fixe provisoirement l’autre variable. Cette hypothèse d’intégrabilité absolue garantit que les trois valeurs sont finies et égales.

Le résultat est également associé à Leonida Tonelli, qui le découvre indépendamment en 1907. En 1939, les lois raciales italiennes écartent Fubini de son poste universitaire. Il quitte l’Italie pour les États-Unis et obtient un poste à l’université de Princeton. Son théorème demeure fondamental en analyse réelle et en théorie de la mesure.

Données. Sur le rectangle où x varie de 0 à 1 et y de 0 à 2, considérons la fonction f définie par $f(x,y)=x+yf(x,y)=x+y$. Elle est continue et positive sur ce rectangle, donc son intégrale est finie. Les deux parcours du même rectangle peuvent être représentés par des segments verticaux ou horizontaux.

1. En intégrant d’abord par rapport à y, avec x fixé, on obtient :

2. On additionne ensuite ces résultats lorsque x parcourt l’intervalle de 0 à 1 :

3. Dans l’ordre inverse, l’intégration par rapport à x donne d’abord :

4. La dernière intégration confirme le résultat :Le contrôle est exact : les deux ordres parcourent le même rectangle et donnent le même total, 3.

Pour calculer une intégrale double sur un rectangle, on choisit l’ordre qui rend l’intégrale intérieure la plus simple. Si une variable disparaît facilement ou si les bornes sont constantes dans un ordre, cet ordre réduit le travail.

Sur un domaine non rectangulaire, le dessin des frontières guide le choix. Des tranches verticales conduisent à intégrer d’abord selon y ; des tranches horizontales conduisent à commencer par x. On préfère la description qui exige le moins de découpage.

Dans un calcul probabiliste ou une moyenne à deux paramètres, changer l’ordre peut isoler une intégrale déjà connue. Avant cet échange, il faut toutefois vérifier la positivité ou une condition d’intégrabilité adaptée, et non se fier à la seule commodité algébrique.

Guido Fubini et le théorème de Fubini. Le premier est le mathématicien italien né en 1879 ; le second est le résultat qui autorise, sous des hypothèses précises, le calcul d’une intégrale double par intégrales successives. Une question de biographie porte sur la personne, une question d’ordre d’intégration sur le théorème.

Théorème de Fubini et théorème de Tonelli. Pour une fonction de signe quelconque, Fubini s’emploie lorsque la valeur absolue est intégrable et fournit une valeur finie. Tonelli traite une fonction mesurable positive et autorise les intégrales à valoir +∞. Une fonction positive non intégrable relève donc de Tonelli, pas de la conclusion finie de Fubini.

Absence d’intégrabilité absolue. Si l’intégrale de |f| n’est pas finie, intervertir les intégrales peut modifier le résultat ou rendre un ordre impossible. Le symptôme est une convergence qui dépend de l’ordre. Il faut alors étudier séparément les intégrales impropres au lieu d’invoquer Fubini.

Singularité masquée. Pour la fonction $f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}f(x,y)=\backslash frac\{x^2-y^2\}\{(x^2+y^2)^2\}$ sur le carré [−1, 1] × [−1, 1] privé de l’origine, une intégration successive donne −π dans un ordre et π dans l’autre. Cette divergence signale que les hypothèses de Fubini ne sont pas satisfaites ; il faut traiter la singularité avant tout échange.

Différence de deux quantités infinies. Séparer une fonction signée en termes dont les intégrales valent +∞ et −∞ produit une expression indéterminée, pas zéro. On vérifie l’intégrabilité de la valeur absolue, ou l’on applique Tonelli séparément aux parties positive et négative sans les soustraire tant que les deux sont infinies.

Bornes mal réécrites. Changer l’ordre sur un domaine non rectangulaire oblige à redécrire exactement ce domaine. Si une tranche rencontre plusieurs intervalles, le nouveau calcul doit être découpé ; conserver les anciennes bornes calculerait une autre région.

La fiche Tonelli (théorème de) précise le cas des fonctions mesurables positives, même lorsque leur intégrale est infinie.

La fiche analyse réelle situe le cadre où intégration, convergence et théorie de la mesure donnent sa portée au théorème de Fubini.