AnalyseThéorème · Glossaire
Tonelli (théorème de)
Le théorème de Tonelli est un résultat d'analyse qui permet d'intervertir l'ordre d'intégration dans une intégrale double de fonctions mesurables non négatives. Contrairement au théorème de Fubini qui s'applique aux fonctions intégrables, le théorème de Tonelli s'applique aux fonctions mesurables à valeurs dans [0,+∞] sans condition d'intégrabilité préalable. Il affirme que si la fonction est non négative et mesurable, alors les trois intégrales (double, par rapport à x, par rapport à y) sont égales, éventuellement infinies.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le cadre produit σ-fini, la mesurabilité et la non-négativité requis par Tonelli.
- Lire l’égalité entre l’intégrale double et les deux intégrales itérées.
- Recalculer les deux ordres d’intégration de x + 2y sur le carré unité.
- Distinguer Tonelli de Fubini lorsque la fonction change de signe ou que l’intégrale vaut +∞.
En clair
Imaginez un carré couvert d’une couche de matière dont l’épaisseur varie d’un point à l’autre, sans jamais devenir négative. Pour trouver la quantité totale, on peut additionner de fines bandes verticales, puis réunir leurs résultats. On peut aussi commencer par des bandes horizontales.
Le théorème de Tonelli garantit que ces deux parcours donnent le même total dès que l’épaisseur est décrite par une fonction mesurable non négative. Le total peut être fini ou infini : aucune intégrabilité préalable n’est exigée.
Définition
Le théorème de Tonelli porte sur une fonction mesurable non négative définie sur le produit de deux espaces mesurés σ-finis. Un espace est σ-fini lorsqu’il est réunion d’une suite d’ensembles de mesure finie. Les deux mesures sont notées μ et ν, et leur mesure produit est notée μ × ν. Intégrer d’abord par rapport à une variable produit une fonction de l’autre variable ; celle-ci est ensuite intégrée à son tour.
Si la fonction est notée f et dépend d’un point x du premier espace et d’un point y du second, Tonelli identifie l’intégrale sur l’espace produit aux deux intégrales successives : . Ces trois valeurs appartiennent aux réels étendus non négatifs [0,+∞].
La force du résultat tient à l’absence d’hypothèse d’intégrabilité avant le calcul. La mesurabilité rend les intégrales définissables, tandis que la non-négativité empêche toute compensation entre valeurs positives et négatives. Si la valeur commune est finie, f est alors intégrable sur l’espace produit.
Le principe
Soient X et Y deux espaces mesurés σ-finis, munis respectivement des mesures μ et ν. Si une fonction f, définie sur X × Y, est mesurable et prend ses valeurs dans [0, +∞], alors ses deux intégrales itérées et son intégrale pour la mesure produit sont égales.
L’égalité s’écrit :
La valeur commune peut être +∞.
Quand l'utiliser
Dans la formulation usuelle, le domaine est le produit X × Y de deux espaces mesurés σ-finis, muni de la mesure produit μ × ν. Première vérification : la fonction f est mesurable sur cet espace. Deuxième vérification : f(x, y) ≥ 0 pour tout couple considéré, à une éventuelle exception sur un ensemble de mesure nulle près. Ces contrôles suffisent pour appliquer Tonelli sans savoir d’avance si l’intégrale est finie.
Si f prend des valeurs positives et négatives, la non-négativité manque. Par exemple, une fonction dont les parties positive et négative ont toutes deux une intégrale infinie conduit à la forme indéterminée +∞ − ∞. Tonelli ne permet alors aucune compensation. Il faut vérifier l’intégrabilité de |f| et, si elle est établie, employer le théorème de Fubini.
Un exemple, pas à pas
On calcule une intégrale sur le carré [0, 1] × [0, 1].
Donnée 1. Les deux variables x et y parcourent [0, 1].
Donnée 2. La fonction est f(x, y) = x + 2y.
Donnée 3. Les deux mesures sont la mesure de Lebesgue usuelle.
Donnée 1. Les deux variables x et y parcourent [0, 1].
Donnée 2. La fonction est f(x, y) = x + 2y.
Donnée 3. Les deux mesures sont la mesure de Lebesgue usuelle.
1. Vérifier les hypothèses. La fonction x + 2y est continue, donc mesurable. Elle est non négative sur le carré unité. Tonelli autorise ainsi les deux ordres d’intégration.
2. Intégrer d’abord selon x. Pour un y fixé, . En intégrant ensuite selon y, on obtient .
3. Intégrer d’abord selon y. Pour un x fixé, . En intégrant ensuite selon x, on trouve .
4. Contrôler. Les deux calculs donnent 3/2. On peut aussi séparer x + 2y : la contribution de x vaut 1/2 et celle de 2y vaut 1, ce qui confirme le total 3/2.
Le schéma associe à chaque ordre d’intégration un parcours du même carré unité. Seul l’ordre des bandes change ; le domaine et la valeur totale 3/2 restent identiques.
En pratique
Pour calculer une intégrale double non négative, on choisit l’ordre qui rend l’intégrale intérieure la plus simple. Si le domaine ou la formule se décrit mieux à x fixé, on commence par y ; dans le cas inverse, on commence par x.
Pour établir qu’une fonction non négative est intégrable, on peut calculer une seule intégrale itérée. Si le résultat est fini, Tonelli montre que l’intégrale sur l’espace produit est finie et que l’autre ordre donne la même valeur.
Pour une série de termes non négatifs, le comptage joue le rôle d’une mesure. Tonelli autorise alors l’échange de deux sommes ou d’une somme et d’une intégrale. Dès que des signes opposés apparaissent, il faut plutôt contrôler la convergence absolue avant d’échanger les opérations.
À ne pas confondre
Le théorème de Fubini. Fubini s’applique à une fonction intégrable, qui peut changer de signe, et garantit des intégrales itérées finies presque partout. Tonelli part d’une fonction non négative mesurable et accepte une valeur commune infinie. Pour f(x, y) = x + 2y sur le carré unité, les deux s’appliquent ; pour une fonction non négative d’intégrale infinie, seul Tonelli donne encore l’égalité dans [0, +∞].
Limites et pièges
Une valeur commune infinie reste une conclusion. Si une intégrale itérée vaut +∞, Tonelli affirme que les trois intégrales valent +∞. Ce résultat ne rend pas la fonction intégrable et n’autorise ni soustraction d’infinis ni compensation.
Le changement de signe bloque l’argument. Le symptôme est l’apparition simultanée d’une partie positive et d’une partie négative d’intégrale infinie. Il faut alors étudier |f| ; si son intégrale est finie, Fubini fournit l’échange recherché.
La mesurabilité n’est pas facultative. Une formule définie point par point ne suffit pas à assurer que les sections et leurs intégrales sont mesurables. Il faut établir cette propriété avant d’appliquer le théorème.
« Positive » signifie ici non négative. Les zéros sont admis. Dans l’exemple conducteur, f(0, 0) = 0 : ce cas charnière ne bloque pas Tonelli, car toutes les autres valeurs restent supérieures ou égales à zéro.
Pour aller plus loin
Mesure produit. Préciser comment les mesures de X et Y déterminent l’intégrale sur X × Y.
fonction mesurable. Identifier l’hypothèse qui rend les sections et les intégrales itérées exploitables.
intégrale de Lebesgue. Replacer la non-négativité, l’intégrabilité et la valeur +∞ dans leur cadre naturel.
théorème de Fubini. Passer au cas des fonctions intégrables qui peuvent prendre des signes opposés.
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