AnalyseThéorème · Glossaire
Beppo-Lévi (théorème de)
Le théorème de Beppo-Lévi (ou théorème de convergence monotone) est un résultat fondamental de la théorie de la mesure et de l'intégration de Lebesgue. Il affirme que si une suite croissante de fonctions mesurables positives converge simplement vers une fonction f, alors l'intégrale de f est égale à la limite des intégrales de la suite. Formellement, si 0 <= f_n <= f_{n+1} et f_n converge vers f, alors l'intégrale de f_n converge vers l'intégrale de f. Ce résultat permet d'intervertir limite et intégrale sous des hypothèses de monotonie.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les trois hypothèses de mesurabilité, positivité et croissance.
- Lire l’égalité qui échange limite et intégrale, y compris lorsque sa valeur est infinie.
- Recalculer un exemple sur les fonctions min(nx, 1).
- Distinguer Beppo-Lévi de la convergence dominée et du lemme de Fatou.
En clair
Imaginez une surface coloriée sous une courbe. À chaque étape, la courbe monte ou reste en place, sans jamais descendre, et les surfaces coloriées s’emboîtent. Le théorème de Beppo-Lévi dit que l’aire obtenue à la limite est la limite des aires successives.
Cette croissance sans retour est le point décisif. Même si la surface finale est infinie, aucune masse positive ne disparaît entre les étapes : on peut donc faire passer la limite à travers l’intégrale.
Définition
Le théorème de Beppo-Lévi, aussi appelé théorème de convergence monotone, concerne une suite de fonctions mesurables positives sur un même espace mesuré. Notons fn la fonction de rang n. La suite est croissante lorsque, pour tout rang n et presque tout point x, on a fn(x) ≤ fn+1(x). Sa limite existe alors presque partout dans [0, +∞] ; on définit partout la fonction mesurable f comme le supremum des fn, qui coïncide avec cette limite presque partout.
L’intégrale de Lebesgue respecte cette montée :
Les deux membres peuvent valoir +∞. Le théorème ne demande donc ni que f soit intégrable au sens d’une intégrale finie, ni qu’une fonction intégrable commune domine toute la suite.
La positivité empêche les compensations entre valeurs positives et négatives, tandis que la monotonie empêche une masse déjà comptée de disparaître. Ces deux hypothèses distinguent ce résultat des autres théorèmes permettant d’échanger limite et intégrale.
Le principe
Soit (X, 𝒜, μ) un espace mesuré. Si les fonctions fn sont mesurables, positives et croissantes presque partout, et si f désigne leur supremum, qui est leur limite presque partout, alors :
L’égalité reste valable dans [0, +∞] : la valeur commune peut être infinie.
Quand l'utiliser
Le cadre est celui d’un espace mesuré commun à toute la suite. Trois vérifications suffisent : chaque fonction fn est mesurable ; ses valeurs sont positives ou nulles ; et, presque partout, fn ≤ fn+1. La conclusion porte sur la fonction mesurable f définie comme le supremum des fn, qui est leur limite presque partout, et sur les intégrales de Lebesgue, éventuellement infinies.
Sans croissance, le théorème ne s’applique pas. Sur [0, 1], la fonction fn qui vaut n sur [0, 1/n] et 0 ailleurs converge presque partout vers 0, mais son intégrale vaut toujours 1. Le simple passage à la limite donnerait donc une conclusion fausse. Il faut alors vérifier les hypothèses d’un autre résultat, par exemple la convergence dominée, ou effectuer un calcul direct.
Un exemple, pas à pas
Sur l’intervalle [0, 1] muni de la mesure de Lebesgue, prenons, pour chaque entier n ≥ 1, la fonction fn définie par fn(x) = min(nx, 1). Les données sont l’intervalle [0, 1], un rang entier n et la hauteur maximale 1. Le graphique montre les rangs 1, 2 et 4 ainsi que la limite.
1. Pour chaque x, les valeurs min(nx, 1) augmentent avec n et restent positives. Si x > 0, elles finissent par valoir 1 ; en x = 0, elles valent toujours 0. La limite f vaut donc 1 presque partout.
2. La courbe de fn monte linéairement jusqu’à x = 1/n, puis reste à hauteur 1. Son intégrale est l’aire d’un triangle et d’un rectangle :
3. Pour n = 1, 2 et 4, les intégrales valent respectivement 1/2, 3/4 et 7/8. Elles croissent vers 1.
4. Comme f vaut 1 presque partout sur [0, 1], son intégrale vaut 1. Le contrôle est donc exact : la limite de 1 − 1/(2n) est bien égale à l’intégrale de f.
En pratique
Pour calculer l’intégrale d’une fonction positive compliquée, on peut l’approcher par des fonctions simples mesurables croissantes. Beppo-Lévi autorise le passage à la limite dès que la mesurabilité et la croissance sont établies.
Pour intégrer une série de fonctions mesurables positives, on applique le théorème aux sommes partielles. Leur croissance permet d’échanger somme infinie et intégrale, même lorsque le résultat vaut +∞.
Si les approximations oscillent au lieu de croître, ce théorème n’est pas le bon outil. Une majoration commune intégrable invite plutôt à vérifier le théorème de convergence dominée ; sans une telle majoration, un calcul direct ou le lemme de Fatou peut seulement fournir une information plus faible.
À ne pas confondre
Avec le théorème de convergence dominée. Celui-ci autorise des fonctions signées et une suite non monotone, mais exige une fonction intégrable qui majore les valeurs absolues. Une suite positive croissante sans majorant intégrable relève de Beppo-Lévi, pas de la convergence dominée.
Avec le lemme de Fatou. Pour une suite de fonctions positives quelconque, Fatou fournit en général une inégalité portant sur la limite inférieure. Lorsque la suite est croissante, Beppo-Lévi donne l’égalité exacte entre l’intégrale de la limite et la limite des intégrales.
Le test est donc concret : croissance positive pour Beppo-Lévi ; domination intégrable pour la convergence dominée ; positivité sans croissance pour l’inégalité de Fatou.
Limites et pièges
Valeurs négatives. Une suite croissante de fonctions signées ne satisfait pas directement l’hypothèse de positivité. Si son premier terme a une intégrale finie, on peut étudier la suite positive fn − f1 ; sinon, il faut un autre argument.
Mauvaise monotonie. « Croissante » décrit ici la variation avec le rang n à point x fixé, et non la variation de chaque fonction quand x augmente. Une fonction fn peut décroître en x sans empêcher l’application du théorème.
Limite infinie. Si les intégrales tendent vers +∞, le théorème reste valable : il conclut que l’intégrale de f vaut +∞. Il ne prouve donc pas que la fonction limite est intégrable au sens d’une intégrale finie.
Suite décroissante. On ne peut pas renverser automatiquement l’énoncé. Si fn décroît et si f1 est intégrable, la suite positive f1 − fn permet de ramener le problème au cas croissant.
Pour aller plus loin
L’intégrale de Lebesgue précise le cadre dans lequel les fonctions positives et leurs approximations sont intégrées.
Le lemme de Fatou montre quelle inégalité subsiste pour des suites positives qui ne sont pas croissantes.
Le théorème de convergence dominée de Lebesgue traite les suites non monotones lorsqu’un majorant intégrable commun contrôle leurs valeurs absolues.
La notion de fonction mesurable explique la condition qui rend les intégrales et les limites compatibles avec la structure mesurée.
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