fonction mesurable

Imaginez quatre tickets numérotés de 1 à 4 qu'une fonction classe en deux résultats, 0 ou 1. Les groupes de tickets que l'on accepte d'observer sont fixés à l'avance. La fonction est mesurable si chaque groupe autorisé de résultats correspond, en remontant la fonction, à un groupe autorisé de tickets.

La mesurabilité garantit ainsi que la fonction ne crée pas un événement impossible à décrire avec les informations disponibles au départ. Elle ne mesure pas une taille et ne dit rien, à elle seule, sur la continuité.

Un espace mesurable associe un ensemble E à une tribu Θ, c'est-à-dire une famille de parties de E contenant E, stable par complémentaire et par réunion dénombrable. Considérons un second espace mesurable formé d'un ensemble F et d'une tribu Θ', puis une application f de E vers F.

La fonction f est mesurable de (E, Θ) vers (F, Θ') lorsque, pour tout ensemble B appartenant à la tribu d'arrivée Θ', son image réciproque appartient à la tribu de départ Θ. Le critère complet s'écrit :La famille de toutes ces images réciproques forme alors une sous-tribu de Θ.

La propriété dépend donc à la fois de f, de la tribu de départ et de celle d'arrivée. Elle exprime une compatibilité entre structures mesurables : tout événement descriptible dans F reste descriptible lorsqu'on le ramène dans E. Ce sont bien les images réciproques, et non les images directes, qui interviennent.

L'espace de départ (E, Θ) fournit les objets x auxquels la fonction s'applique et précise quels sous-ensembles de E sont observables. Sans la tribu Θ, dire que f est mesurable n'a pas de sens complet.

L'espace d'arrivée (F, Θ') contient les valeurs f(x) et fixe les événements B dont il faut contrôler le retour vers E. Une tribu d'arrivée plus riche impose davantage de contrôles.

L'application f relie chaque élément de E à une valeur de F. Pour chaque ensemble B de Θ', l'image réciproque f⁻¹(B) rassemble exactement les éléments de E envoyés dans B.

Ces cinq données — E, Θ, F, Θ' et l'application f — suffisent à appliquer le critère : on construit les images réciproques demandées, puis on vérifie leur appartenance à Θ. La forme d'un graphe ou la régularité visuelle de f ne fait pas partie de la définition.

On veut vérifier la mesurabilité d'une fonction qui sépare quatre tickets en deux groupes.

Données.
L'ensemble de départ est E = {1, 2, 3, 4}.
Sa tribu est Θ = {∅, E, {1, 2}, {3, 4}}.
L'ensemble d'arrivée est F = {0, 1}.
Sa tribu est Θ' = {∅, F, {0}, {1}}.
La fonction f envoie 1 et 2 sur 0, puis 3 et 4 sur 1.

1. L'image réciproque de ∅ est ∅, qui appartient à Θ.

2. L'image réciproque de F est E, qui appartient à Θ.

3. L'image réciproque de {0} est {1, 2}, tandis que celle de {1} est {3, 4}. Ces deux ensembles appartiennent aussi à Θ.

Les quatre flèches matérialisent les deux groupes dont le critère contrôle les images réciproques.

Tous les éléments de Θ' ont été contrôlés : f est donc mesurable. Le contrôle se refait en énumérant les quatre parties de Θ' ; leurs images réciproques redonnent exactement les quatre parties de Θ.

En théorie de l'intégration, on contrôle d'abord la mesurabilité d'une fonction avant de chercher à l'intégrer. Si cette condition échoue, l'intégrale de Lebesgue n'est pas l'outil approprié dans la structure mesurable choisie.

En probabilités, une variable aléatoire doit transformer les événements portant sur ses valeurs en événements de l'espace des issues. Le geste concret consiste à prendre un ensemble de valeurs, puis à examiner son image réciproque.

Pour une fonction continue entre espaces topologiques munis de leurs tribus boréliennes, la continuité fournit directement la mesurabilité. Si la fonction présente des discontinuités, on revient au critère des images réciproques, éventuellement sur une famille qui engendre la tribu d'arrivée.

Fonction continue. La continuité contrôle l'image réciproque des ouverts, tandis que la mesurabilité contrôle celle des ensembles de la tribu d'arrivée. Sur ℝ muni de sa tribu borélienne, la fonction indicatrice de [0, +∞[ est mesurable mais discontinue en 0.

Fonction intégrable. Être mesurable ne garantit pas une intégrale finie. Sur l'intervalle ]0, 1[, la fonction x ↦ 1/x est mesurable, mais l'intégrale de sa valeur absolue est infinie.

Variable aléatoire. Une variable aléatoire est une fonction mesurable définie sur un espace probabilisé, généralement à valeurs réelles. La fonction de l'exemple sur quatre tickets n'est une variable aléatoire qu'après le choix d'une probabilité sur E.

Changer de tribu peut changer le verdict. Une même application peut être mesurable pour une tribu d'arrivée et ne plus l'être pour une tribu plus riche. Le symptôme est une image réciproque absente de Θ ; il faut toujours annoncer les deux espaces mesurables.

Une vérification partielle exige un argument. Contrôler quelques ensembles suffit seulement s'ils engendrent Θ' et si l'on invoque la stabilité des images réciproques. Dans l'exemple, les deux singletons {0} et {1} engendrent les quatre éléments de Θ'. Sans famille génératrice identifiée, il faut vérifier tout Θ'.

Le sens de l'image compte. Vérifier que f(A) appartient à Θ' pour chaque A de Θ n'est pas le critère de mesurabilité. Si un raisonnement part des sous-ensembles du domaine, il faut le reprendre en partant de B dans Θ' et calculer f⁻¹(B).

Le cas minimal ne dit rien sur la régularité. Si Θ' ne contient que les deux ensembles ∅ et F, toute application vers F est mesurable. Ce verdict ne permet de conclure ni à la continuité ni à l'intégrabilité.

La tribu précise pourquoi les ensembles observables restent stables sous les opérations nécessaires au calcul des images réciproques.

Un espace mesurable réunit l'ensemble support et sa tribu ; c'est le cadre exact dans lequel la propriété de f prend son sens.

La variable aléatoire montre comment la même condition transforme une question sur des valeurs en événement probabilisable.

L'intégrale de Lebesgue prolonge cette compatibilité : la mesurabilité devient une condition préalable à l'intégration dans ce cadre.