fonction borélienne

Imaginez une règle qui classe chaque nombre réel dans deux cases : négatif, ou positif avec zéro. Pour savoir si cette règle est borélienne, on regarde les groupes de nombres obtenus en remontant depuis chaque résultat. Ces groupes doivent rester descriptibles à partir des intervalles ouverts, en autorisant compléments et unions dénombrables.

L’idée essentielle tient donc à un geste : choisir un ensemble à l’arrivée, puis examiner tous ses antécédents au départ. La propriété porte sur ces images réciproques, pas sur la régularité du tracé.

Considérons un espace topologique de départ Ω₁, muni d’une topologie T₁, et un espace topologique d’arrivée Ω₂, muni d’une topologie T₂. La tribu borélienne B₁ est la plus petite tribu contenant tous les ouverts de T₁ ; de même, B₂ est engendrée par T₂.

Une application f de Ω₁ vers Ω₂ est borélienne lorsque, pour chaque ensemble A appartenant à B₂, son image réciproque appartient à B₁. Le critère s’écrit $\mathrm{\forall }A\in B_2,f^{-1}(A)\in B_1\backslash forall\; A\backslash in\; B\_2,\backslash quad\; f^\{-1\}(A)\backslash in\; B\_1$. L’image réciproque rassemble les points x de Ω₁ dont la valeur f(x) appartient à A. Comme B₂ est engendrée par les ouverts de T₂, il suffit aussi de vérifier que l’image réciproque de chaque ouvert de Ω₂ appartient à B₁.

Toute fonction continue entre ces espaces est borélienne, car l’image réciproque d’un ouvert est alors ouverte. La réciproque est fausse : une fonction peut être borélienne tout en présentant une discontinuité. La notion dépend toujours des topologies, donc des tribus boréliennes qu’elles engendrent.

Quatre données forment le cadre. L’espace de départ Ω₁ porte sa topologie T₁, qui engendre la tribu borélienne B₁. L’espace d’arrivée Ω₂ porte T₂, qui engendre B₂. L’application f associe ensuite à chaque point de Ω₁ un point de Ω₂. Enfin, l’opération d’image réciproque transforme un ensemble A de l’arrivée en l’ensemble des points de départ envoyés dans A.

Les dépendances sont décisives : changer une topologie peut changer sa tribu borélienne, donc le verdict sur f. De plus, c’est B₂ qui fournit les ensembles à tester, tandis que B₁ décide si leurs images réciproques sont admissibles. Ces données suffisent à établir la borélianité ; le dessin du graphe, sa couleur ou son échelle n’en font pas partie.

Prenons la droite réelle avec sa topologie usuelle au départ comme à l’arrivée. La fonction f vaut 0 sur les nombres strictement négatifs et 1 sur les nombres positifs ou nuls. C’est l’indicatrice de la demi-droite [0, +∞[, ce qui s’écrit :Les données sont la coupure en 0, les deux valeurs 0 et 1, et les tribus boréliennes usuelles sur ℝ.

1. Choisissons un borélien A quelconque de la droite d’arrivée. Seule l’appartenance éventuelle de 0 et de 1 à A influence l’image réciproque.

2. Si A ne contient ni 0 ni 1, l’image réciproque est vide. S’il contient les deux, elle est égale à ℝ.

3. Si A contient 0 mais pas 1, l’image réciproque est ]−∞, 0[. Si A contient 1 mais pas 0, elle est [0, +∞[.

4. Les quatre ensembles possibles — ∅, ℝ et les deux demi-droites — sont boréliens. Ainsi f est borélienne. La séparation en deux demi-droites rend ce contrôle visible, même si f présente un saut en 0.

Pour refaire le contrôle, choisissez par exemple A = ]1/2, 3/2[ : il contient 1 mais pas 0, donc son image réciproque est exactement [0, +∞[.

En théorie de la mesure, on vérifie la borélianité avant d’intégrer une fonction dans le cadre borélien. Si la fonction est continue, la continuité fournit directement ce contrôle ; sinon, il faut étudier les images réciproques d’ensembles générateurs.

En probabilités, une variable aléatoire réelle doit être mesurable vers la tribu borélienne de ℝ. Lorsque l’espace de départ porte lui-même une topologie et sa tribu borélienne, cette vérification prend exactement la forme du critère de borélianité.

Face à une fonction définie par morceaux, on examine chaque zone de définition et les frontières qui les séparent. Le critère par les ouverts est souvent préférable au contrôle de tous les boréliens, puisqu’il exploite directement les générateurs de la tribu d’arrivée.

Fonction continue. La continuité impose que l’image réciproque de tout ouvert soit ouverte. La borélianité exige seulement qu’elle soit borélienne. La fonction qui vaut 0 sur ]−∞, 0[ et 1 sur [0, +∞[ est borélienne, mais elle n’est pas continue en 0.

Fonction mesurable pour des tribus quelconques. La mesurabilité se définit pour toute paire de tribus choisies. Le mot « borélienne » précise que ces tribus sont celles engendrées par les topologies des deux espaces. Une même application peut donc changer de statut lorsque les tribus changent.

Variable aléatoire. Une variable aléatoire réelle est mesurable vers la tribu borélienne de ℝ, mais sa tribu de départ vient d’un espace probabilisé et n’est pas nécessairement borélienne. Elle n’est donc pas automatiquement une fonction borélienne entre deux espaces topologiques.

Tester les images dans le mauvais sens. Montrer que f(A) est borélien ne vérifie pas la définition. La condition de mesurabilité exige que l’image réciproque de tout borélien de l’espace d’arrivée soit borélienne dans l’espace de départ : on part donc d’un ensemble de Ω₂ pour remonter vers Ω₁.

Oublier les topologies. Dire seulement que f est borélienne masque les structures utilisées. Si l’une des topologies change, la tribu qu’elle engendre peut changer aussi. Il faut alors reformuler B₁ et B₂ avant de reprendre le test.

Confondre un saut avec un échec. Une discontinuité n’empêche pas nécessairement la borélianité. Dans l’exemple conducteur, le seul point de saut est 0, mais chaque image réciproque possible reste l’un des quatre boréliens ∅, ℝ, ]−∞, 0[ ou [0, +∞[.

Vérifier trop ou trop peu. Tester quelques ouverts choisis au hasard ne suffit pas. On peut tester tous les ouverts de l’arrivée, ou une famille dont la tribu engendrée est bien B₂, puis utiliser la stabilité des images réciproques par complément et union dénombrable.

La fonction continue donne le critère suffisant le plus immédiat : l’image réciproque de chaque ouvert est ouverte, donc borélienne.

La notion de tribu précise les opérations qui conservent les ensembles mesurables et explique la notation σ(T).

La variable aléatoire montre comment la mesurabilité vers les boréliens de ℝ intervient dans un espace probabilisé.