mesure de Borel

Sur une droite graduée, colorions le segment [0, 1] et l'intervalle (2, 3]. Chacun a une longueur de 1, si bien que leur réunion a une longueur totale de 2. Les extrémités incluses ou exclues ne changent pas cette valeur.

La mesure de Borel formalise ce geste pour les ensembles construits à partir des ouverts. Elle leur attribue une taille compatible avec la longueur usuelle. La famille obtenue contient les intervalles, leurs complémentaires et toutes les réunions ou intersections dénombrables fabriquées à partir d'eux.

Dans un espace topologique X, la tribu borélienne, notée B(X), est la plus petite tribu contenant tous les ouverts. Ses éléments sont les ensembles boréliens. Une tribu contient l'ensemble vide et reste stable par complémentaire et par réunion dénombrable ; elle l'est donc aussi par intersection dénombrable.

Sur la droite réelle, notons λ la mesure de Lebesgue complète. La mesure de Borel décrite ici, notée μ_B, est sa restriction aux seuls boréliens :

Ainsi, pour chaque borélien A, les deux mesures donnent la même valeur : μ_B(A) = λ(A). La mesure complète de Lebesgue est toutefois définie sur une tribu plus grande, qui contient aussi tous les sous-ensembles des boréliens de mesure nulle. Selon les ouvrages, l'expression mesure de Borel peut avoir un sens plus général : toute mesure définie sur B(X), sans être nécessairement la restriction de la mesure de Lebesgue.

On rencontre cette mesure lorsqu'un espace est muni à la fois d'une topologie et d'une notion de taille. Quatre marqueurs permettent de reconnaître le cadre : des ouverts sont donnés, la notation B(X) apparaît, les ensembles sont obtenus par des opérations dénombrables, et une mesure leur associe une valeur positive ou nulle, éventuellement infinie.

Sur ℝ, cette valeur prolonge la longueur des intervalles. En probabilité, la même structure indique quels événements peuvent recevoir une probabilité. Dans les deux cas, la tribu borélienne porte l'information mesurable engendrée par les ouverts ; elle ne décrit pas la forme géométrique de chaque ensemble.

La grandeur lue est la mesure μ_B(A) d'un borélien A. 1. Identifier l'espace topologique et sa tribu borélienne. 2. Vérifier que A est construit par complémentaires et opérations dénombrables à partir d'ouverts connus. 3. Décomposer A en morceaux disjoints dont la mesure est connue. 4. Additionner leurs mesures, puis préciser l'unité lorsque le support en possède une.

Sur ℝ, [0, 1] ∪ (2, 3] s'étend de 0 à 3, mais sa mesure vaut 2 unités de longueur. L'œil peut confondre l'amplitude entre les extrêmes avec la taille mesurée. Le bon réflexe est d'isoler les morceaux présents et de ne compter ni le vide entre eux ni deux fois un chevauchement.

Dans l'intervalle ambiant [0, 3], considérons A = [0, 1] ∪ (2, 3]. Les deux morceaux sont disjoints. Le premier va de 0 à 1, le second de 2 à 3, et l'intervalle absent entre eux est (1, 2].

1. Les intervalles de A sont boréliens : les intervalles ouverts appartiennent à la tribu borélienne, puis les complémentaires et intersections dénombrables fournissent les variantes fermées ou semi-ouvertes.

2. Le segment [0, 1] a pour mesure 1 − 0 = 1 unité de longueur. L'intervalle (2, 3] a pour mesure 3 − 2 = 1 unité de longueur.

3. L'additivité sur les morceaux disjoints donne μ_B(A) = 1 + 1 = 2 unités de longueur.

4. Pour contrôler le résultat, l'intervalle [0, 3] mesure 3 et la partie absente (1, 2] mesure 1. La différence 3 − 1 redonne exactement 2.

Les extrémités ouvertes ou fermées n'affectent pas ce calcul, car chaque singleton de ℝ a une mesure de Lebesgue nulle. Elles changent pourtant l'ensemble lui-même.

Pour mesurer une réunion d'intervalles sur ℝ, on fusionne d'abord les chevauchements, puis on additionne les longueurs des morceaux disjoints. Si l'ensemble comporte des parties qui ne sont pas boréliennes, la mesure de Lebesgue complétée est le cadre à examiner.

Pour définir une probabilité sur un espace topologique, on attribue souvent des probabilités aux boréliens. La tribu borélienne convient lorsque les événements observables sont engendrés par les ouverts ; une complétion devient utile si tout sous-ensemble d'un événement nul doit aussi être mesurable.

Pour intégrer une fonction, il faut annoncer la mesure et sa tribu. La restriction borélienne suffit lorsque les ensembles considérés sont boréliens ; la mesure de Lebesgue complète est préférable lorsque le raisonnement utilise explicitement des parties d'ensembles nuls.

Tribu borélienne et mesure de Borel. La tribu B(X) est une famille d'ensembles autorisés ; la mesure est la fonction qui leur attribue une valeur. Écrire A ∈ B(X) affirme que A est borélien, pas qu'une taille lui a déjà été choisie.

Mesure de Borel et mesure de Lebesgue complète. Elles coïncident sur tout borélien de ℝ. Elles se séparent par leur domaine : la seconde mesure aussi tous les sous-ensembles d'ensembles boréliens de mesure nulle, même lorsque ces sous-ensembles ne sont pas boréliens.

Mesure borélienne et probabilité borélienne. Une probabilité borélienne est une mesure borélienne dont la masse totale vaut 1. Si la mesure de tout l'espace vaut 2 ou +∞, elle peut rester borélienne, mais ce n'est pas une probabilité.

Le vocabulaire varie selon le cadre. Dans la source, la mesure de Borel est la restriction de la mesure de Lebesgue. Dans un texte sur un espace topologique quelconque, le même nom peut viser toute mesure sur B(X). Il faut lire la définition donnée par l'auteur avant d'utiliser ses propriétés.

La restriction n'est pas complète en général. Un sous-ensemble d'un borélien de mesure nulle peut ne pas appartenir à B(ℝ). Si un raisonnement veut mesurer automatiquement toute partie d'un ensemble nul, il faut travailler avec la tribu complétée de Lebesgue.

Dénombrable ne signifie pas arbitraire. Une tribu est stable sous une réunion finie ou dénombrable. Face à une famille non dénombrable de boréliens, cette seule propriété ne permet pas de conclure que leur réunion est borélienne ; il faut identifier autrement l'ensemble obtenu.

La valeur ne décrit pas la forme. Dans l'exemple, [0, 1] ∪ (2, 3] mesure 2, comme [0, 2], mais les deux ensembles sont différents. Pour étudier connexité, frontière ou position, il faut conserver l'ensemble lui-même en plus de sa mesure.

La tribu précise les opérations qui maintiennent un ensemble dans le domaine d'une mesure.

La mesure de Lebesgue élargit le domaine borélien par complétion et conserve la longueur des intervalles.

L'intégrale de Lebesgue montre comment une mesure d'ensembles sert à attribuer une valeur globale à une fonction.