Complétée (mesure)

Imaginons trois points a, b et c. Une première règle autorise à mesurer le groupe {a, b}, mais pas a et b séparément. Or ce groupe a une mesure nulle : il ne pèse rien dans le calcul. Compléter la mesure revient à autoriser aussi {a} et {b}, en leur attribuant la mesure zéro.

Le même geste vaut dans un espace quelconque : dès qu'un ensemble mesurable est négligeable, chacun de ses sous-ensembles devient mesurable et négligeable. On élimine ainsi un trou de la tribu sans modifier la mesure des ensembles déjà mesurables.

Soit un espace de mesure composé d'un ensemble X, d'une tribu 𝒜 de parties de X et d'une mesure μ définie sur 𝒜. La mesure μ est dite complète lorsque tout sous-ensemble d'un ensemble de 𝒜 de mesure nulle appartient lui-même à 𝒜. Un tel sous-ensemble reçoit nécessairement la mesure zéro.

La tribu complétée, notée ici 𝒜̄, rassemble les ensembles que l'on obtient en ajoutant à un ensemble déjà mesurable une partie quelconque d'un ensemble mesurable négligeable :

Pour un ensemble E écrit sous la forme E = A ∪ N, la mesure complétée μ̄ est définie par μ̄(E) = μ(A). Cette valeur ne dépend pas de la représentation choisie. Ainsi, μ̄ prolonge μ, rend l'espace complet et constitue la plus petite extension complète obtenue de cette manière. Sur la droite réelle, la mesure de Lebesgue est la complétion de la mesure de Borel.

On rencontre la complétion lorsqu'un énoncé présente un espace de mesure (X, 𝒜, μ) et insiste sur les ensembles de mesure nulle. Quatre indices la signalent : la tribu initiale est nommée, les ensembles négligeables sont repérés, leurs sous-ensembles sont admis comme mesurables et la mesure reste inchangée sur 𝒜.

Le cas de référence est le passage des ensembles boréliens aux ensembles mesurables au sens de Lebesgue sur la droite réelle. La donnée importante n'est donc pas seulement l'ensemble X : la tribu et la mesure choisies déterminent quels sous-ensembles sont ajoutés.

Pour un ensemble E de la tribu complétée, la grandeur lue est μ̄(E) ; ce qui change est la liste des ensembles E auxquels une mesure peut être attribuée. 1. On repère un ensemble mesurable Z tel que μ(Z) = 0. 2. On choisit une partie N de Z, même si N n'appartenait pas à la tribu initiale. 3. On associe N à un ensemble A déjà mesurable. 4. On attribue à A ∪ N la valeur μ̄(A ∪ N) = μ(A).

La convention essentielle est que tout ce qui est ajouté à l'intérieur d'un négligeable compte pour zéro. Le piège visuel consiste à croire qu'une partie très compliquée doit avoir une mesure positive. Sa forme ou son nombre de points ne décide pas : il faut vérifier qu'elle est contenue dans un ensemble mesurable de mesure nulle.

Prenons X = {a, b, c}. Les données sont la tribu 𝒜 = {∅, {a, b}, {c}, X}, la mesure μ({a, b}) = 0 et la mesure μ({c}) = 1. Par additivité, μ(X) = 1.

Étape 1. L'ensemble {a, b} est mesurable et négligeable, car sa mesure vaut zéro.

Étape 2. Ses parties {a} et {b} ne figurent pas dans 𝒜. La mesure initiale n'est donc pas complète.

Étape 3. La complétion ajoute {a} et {b}, puis les unions rendues nécessaires avec les ensembles déjà mesurables : {a, c} et {b, c}. On obtient ainsi les huit parties de X.

Le résultat est μ̄({a}) = μ̄({b}) = 0 et μ̄({a, c}) = μ̄({b, c}) = 1. Pour contrôler le calcul, on vérifie par exemple que {a, c} et {b} sont disjoints, que leur union vaut X et que 1 + 0 = μ̄(X) = 1.

Pour intégrer sur la droite réelle, on travaille souvent avec la mesure de Lebesgue : elle admet les sous-ensembles des boréliens négligeables que la seule mesure de Borel peut laisser hors de son domaine.

Dans un espace de probabilité, la complétion autorise à traiter comme événements tous les sous-ensembles d'événements de probabilité nulle. On la préfère lorsque les propriétés vraies presque partout doivent rester valables après une modification sur un tel sous-ensemble.

La tribu initiale reste toutefois utile lorsque l'on doit savoir qu'un ensemble est précisément borélien. Le critère est alors le besoin du raisonnement : mesurabilité complétée pour ignorer les négligeables, structure borélienne pour conserver l'information topologique d'origine.

Mesure complète et mesure complétée. Une mesure complète possède déjà la propriété voulue. Une mesure complétée est l'extension construite pour la donner à une mesure qui ne l'avait pas forcément. Dans l'exemple sur {a, b, c}, μ ne mesure pas {a}, tandis que μ̄ le mesure.

Tribu borélienne et tribu de Lebesgue. La première est engendrée par les ouverts de la droite réelle. La seconde complète cette tribu pour la mesure de Borel : un sous-ensemble non borélien d'un borélien négligeable suffit à montrer la différence.

Complétion d'une mesure et complétude d'un espace métrique. La première concerne les parties d'ensembles négligeables. La seconde concerne les suites de Cauchy. Le mot est voisin, mais le test à effectuer n'est pas le même.

La complétion dépend de la mesure. Une même tribu munie de deux mesures peut avoir des ensembles négligeables différents et donc deux tribus complétées différentes. Le symptôme d'une erreur est de parler de « la » complétion de 𝒜 sans préciser μ ; il faut compléter le couple (𝒜, μ).

Zéro est le cas charnière. Le procédé adjoint toutes les parties d'un ensemble mesurable lorsque sa mesure vaut exactement 0. Une mesure positive, même très petite, ne donne pas ce droit ; il faut alors vérifier séparément la mesurabilité de ses sous-ensembles.

Tout ne devient pas mesurable. La complétion ajoute les ensembles qui diffèrent d'un ensemble mesurable par une partie négligeable. Si aucune telle représentation n'existe, l'ensemble reste hors de la tribu complétée ; il ne faut pas lui attribuer une mesure.

La plus petite ne signifie pas l'unique extension possible. La complétion est l'extension complète minimale qui conserve les valeurs initiales. Une extension portant sur une tribu plus grande peut exister, mais elle contient alors davantage que les seules parties rendues nécessaires par les négligeables.

La fiche tribu précise la structure fermée par complémentaire et union dénombrable qui reçoit les nouveaux ensembles.

La mesure de Borel présente la mesure initiale sur les boréliens dont la complétion mène au cadre de Lebesgue.

La mesure de Lebesgue montre le cadre complété employé pour mesurer et intégrer sur la droite réelle.