Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Complète (tribu)
Une mesure est dite complète si tout sous-ensemble d'un ensemble de mesure nulle est mesurable. De même, une tribu est complète par rapport à une mesure si elle contient tous les sous-ensembles de ses ensembles de mesure nulle. La mesure de Lebesgue et la tribu de Lebesgue sont complètes. La complétion d'une mesure ou d'une tribu est l'extension canonique permettant d'obtenir la complétude.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Tester si une tribu contient toutes les parties de ses ensembles de mesure nulle.
- Suivre la complétion exacte d'une tribu sur un ensemble de trois points.
- Distinguer une tribu complète d'une tribu maximale et d'un espace métrique complet.
- Identifier le rôle précis de la tribu de Lebesgue et le piège de la tribu borélienne.
En clair
Prenons trois points a, b et c. Une tribu peut autoriser le groupe {a, b} et lui donner une mesure nulle, tout en refusant encore le point a pris seul. Une partie d'un ensemble négligeable reste alors hors du catalogue des ensembles mesurables.
Une tribu complète ne laisse pas ce trou : relativement à la mesure choisie, elle contient chaque partie de chaque ensemble de mesure zéro. Compléter la tribu revient à ajouter ces parties manquantes, ainsi que ce que les règles d'une tribu imposent avec elles.
Définition
Soit un ensemble X, une tribu Σ de parties de X et une mesure μ définie sur Σ. La tribu Σ est complète relativement à μ lorsque toute partie d'un ensemble mesurable de mesure nulle appartient elle aussi à Σ. En notant 𝒫(Z) l'ensemble de toutes les parties d'un ensemble Z, la condition s'écrit :
La complétude porte donc sur le couple formé par la tribu et la mesure. La même tribu peut être complète pour une mesure et incomplète pour une autre, car leurs ensembles de mesure nulle peuvent différer.
Si la condition échoue, la complétion agrandit Σ en ajoutant les parties des ensembles μ-nuls et les ensembles qu'elles engendrent par union avec les éléments de Σ. La mesure se prolonge sans changer ses valeurs initiales. Cette extension canonique donne une tribu complète. La tribu de Lebesgue, munie de la mesure de Lebesgue, en est l'exemple classique.
Un exemple, pas à pas
Considérons X = {a, b, c}. La tribu initiale est Σ = {∅, {a, b}, {c}, X}. La mesure μ vaut 0 sur ∅ et {a, b}, puis 1 sur {c} et X.
1. L'ensemble nul Z = {a, b} appartient à Σ.
2. Sa partie {a} n'appartient pas à Σ : la tribu n'est donc pas complète relativement à μ.
3. On ajoute {a} et {b}. Les compléments imposent aussi d'ajouter {b, c} et {a, c}.
4. La tribu complétée contient alors les huit parties de X, c'est-à-dire 𝒫(X).
5. La mesure prolongée vaut 0 sur ∅, {a}, {b} et {a, b}, puis 1 sur toute partie contenant c.
2. Sa partie {a} n'appartient pas à Σ : la tribu n'est donc pas complète relativement à μ.
3. On ajoute {a} et {b}. Les compléments imposent aussi d'ajouter {b, c} et {a, c}.
4. La tribu complétée contient alors les huit parties de X, c'est-à-dire 𝒫(X).
5. La mesure prolongée vaut 0 sur ∅, {a}, {b} et {a, b}, puis 1 sur toute partie contenant c.
Le contrôle se refait en listant les ensembles de mesure nulle de la tribu complétée : ∅, {a}, {b} et {a, b}. Toutes leurs parties figurent bien parmi les huit ensembles. La tribu obtenue est complète relativement à la mesure prolongée.
En pratique
Dans un raisonnement valable presque partout, on modifie parfois une fonction sur une partie d'un ensemble nul. Si la tribu est complète, cette partie reste mesurable ; sinon, on passe à la tribu complétée.
Pour tester une tribu donnée, on cherche un ensemble mesurable de mesure zéro, puis une de ses parties absente de la tribu. Un seul exemple suffit à établir l'incomplétude ; en l'absence d'un tel exemple, il faut vérifier la propriété pour tous les ensembles nuls.
En analyse réelle, la tribu de Lebesgue est adaptée lorsque les parties d'ensembles négligeables doivent rester mesurables. La tribu borélienne est préférable quand la structure borélienne elle-même compte, mais elle n'est pas complète pour la mesure de Lebesgue.
À ne pas confondre
Tribu complète et tribu maximale. Une tribu maximale contient toutes les parties de X. Une tribu complète doit seulement contenir les parties des ensembles nuls pour la mesure considérée. Si les seuls ensembles nuls sont vides, toute tribu est complète sans être nécessairement maximale.
Tribu complète et espace métrique complet. La première propriété concerne la mesurabilité des parties d'ensembles nuls. La seconde exige que toute suite de Cauchy converge dans l'espace. Aucun test de distance n'intervient dans la complétude d'une tribu.
Complétude et complétion. La complétude est la propriété obtenue ; la complétion est l'opération d'extension. Dans l'exemple à trois points, Σ n'est pas complète au départ, tandis que 𝒫(X) est sa complétion relative à μ.
Limites et pièges
La mesure doit être précisée. « Cette tribu est complète » reste ambigu sans mesure de référence. Les ensembles nuls dépendent de μ ; il faut donc nommer le couple (Σ, μ).
Zéro est le seuil exact. La définition ne s'applique pas aux ensembles de mesure seulement petite. Même si μ(A) est positive et très proche de zéro, la présence de A dans Σ n'oblige pas toutes ses parties à être mesurables.
Une valeur non définie n'est pas nulle. Dans la tribu initiale de l'exemple, écrire μ({a}) = 0 est illégitime, car {a} n'appartient pas encore à Σ. La valeur zéro n'est attribuée qu'après le prolongement de la mesure à la tribu complétée.
Le mot « Lebesgue » ne suffit pas. La mesure de Lebesgue sur la tribu de Lebesgue est complète. Sa restriction à la tribu borélienne ne l'est pas : des parties non boréliennes d'ensembles boréliens nuls peuvent manquer. Il faut vérifier le domaine annoncé.
Pour aller plus loin
La fiche Complète (mesure) présente la même propriété du point de vue de la mesure et détaille son prolongement canonique.
La fiche Espace mesurable replace la tribu dans le cadre formé par l'ensemble de départ et les ensembles déclarés mesurables.
La fiche tribu de Lebesgue approfondit l'exemple canonique d'une tribu obtenue en complétant les ensembles boréliens.
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