Complétée (tribu)

Imaginez une règle qui sait mesurer certains ensembles, mais qui ignore encore quelques sous-ensembles très fins. Si un ensemble déjà mesurable a une mesure nulle, tous ses sous-ensembles peuvent être ajoutés sans changer aucune mesure. La complétion consiste précisément à effectuer cet ajout systématique. Elle agrandit la collection d’ensembles mesurables, tout en conservant la mesure attribuée aux ensembles connus. La mesure complétée garde donc les mêmes valeurs sur la tribu initiale, mais elle sait traiter davantage de parties négligeables.

Soit μ une mesure définie sur une tribu 𝒜 d’un ensemble X. La complétion ajoute à 𝒜 toute partie A d’un ensemble N qui appartient à 𝒜 et vérifie μ(N) = 0. La tribu obtenue contient donc les ensembles de 𝒜 ainsi que tous leurs sous-ensembles négligeables.

La mesure complétée, notée encore μ, attribue à une nouvelle partie A la valeur de l’ensemble mesurable auquel elle est rattachée : dans le cas ajouté, cette valeur est 0. Elle coïncide avec μ sur 𝒜 ; la complétion étend le domaine de définition sans modifier les valeurs déjà fixées. La tribu complétée est la plus petite tribu qui contient 𝒜 et tous les sous-ensembles des ensembles de 𝒜 de mesure nulle.

Sur la droite réelle, la mesure de Borel devient ainsi la mesure de Lebesgue lorsqu’on la complète. Le procédé ne rend pas mesurable toute partie de X : il ajoute seulement les parties contenues dans des ensembles déjà mesurables et de mesure nulle.

Considérons une mesure μ sur une tribu 𝒜 de X. Prenons un ensemble N de 𝒜 dont la mesure est nulle, puis une partie A de N qui n’appartient pas nécessairement à 𝒜. Pour un cas concret et borné, sur X = [0,1] muni de la mesure de Borel, on peut choisir N égal à l’ensemble de Cantor C, borélien et de mesure nulle, puis une partie A de C qui n’est pas borélienne.

Les données sont les suivantes : N appartient à 𝒜 ; μ(N) = 0 ; A est contenu dans N.

La complétion ajoute A à la tribu obtenue.
Comme A est contenu dans N et que N est négligeable, la mesure complétée de A vaut 0.
Le contrôle est immédiat : A reste contenu dans un ensemble de mesure nulle, donc son ajout ne peut créer de masse mesurable.
Le résultat est μ̄(A) = 0, où μ̄ désigne la mesure complétée.

Cet exemple montre le mécanisme sans supposer que A était déjà mesurable pour μ : la complétion élargit la tribu, puis prolonge la mesure de manière cohérente.

En théorie de la mesure, la complétion sert lorsque des raisonnements produisent des parties d’ensembles négligeables. La mesure complétée permet alors de les considérer comme mesurables sans leur attribuer une masse non nulle.

Sur la droite réelle, on part de la mesure de Borel et l’on passe à sa complétion pour obtenir la mesure de Lebesgue. Le critère concret est toujours le même : la partie ajoutée doit être contenue dans un ensemble déjà mesurable de mesure nulle.

La complétion d’une mesure ne doit pas être confondue avec la complétion d’un espace métrique. Dans le premier cas, on ajoute des sous-ensembles d’ensembles de mesure nulle à une tribu. Dans le second, on ajoute des limites de suites de Cauchy pour obtenir un espace métrique complet. Le critère qui tranche est donc observable dans la donnée étudiée : mesure nulle et mesurabilité d’un côté, distance et suites de Cauchy de l’autre.

La mesure complétée ne doit pas non plus être confondue avec une mesure différente sur les ensembles déjà mesurables. Si B appartient à la tribu initiale, sa mesure reste μ(B) ; l’extension porte sur le domaine des ensembles, pas sur une nouvelle valeur imposée à B.

Le mot « négligeable » est une condition précise. Une partie A est ajoutée par complétion lorsqu’elle est contenue dans un ensemble N déjà mesurable et vérifiant μ(N) = 0. Si μ(N) est strictement positive, le fait que A soit contenu dans N ne suffit pas à rendre A mesurable.

Autre piège : la complétion n’ajoute pas toutes les parties possibles de l’espace X. Une partie sans ensemble mesurable nul qui la contient peut rester hors de la tribu complétée. Il faut donc vérifier à la fois l’inclusion A ⊆ N, la mesurabilité de N et sa mesure nulle.

Enfin, une mesure déjà complète ne gagne aucun nouvel ensemble par ce procédé. La complétion est alors stable : toute partie d’un ensemble mesurable de mesure nulle est déjà mesurable.

Le point de vue le plus général consiste à voir la complétion comme une opération sur un espace de mesure : elle conserve la mesure initiale et agrandit seulement la tribu par les parties des ensembles négligeables. Cette perspective aide à comprendre pourquoi la mesure de Lebesgue est adaptée aux raisonnements où apparaissent des ensembles de mesure nulle, alors que la mesure de Borel seule peut ne pas contenir toutes leurs parties.