Logique et ensemblesNotion · Glossaire
tribu de Lebesgue
Pour n ≥ 1, la tribu de Lebesgue est la tribu associée à la mesure de Lebesgue sur ℝⁿ. Elle est obtenue en complétant la tribu de Borel de ℝⁿ par rapport à la mesure de Lebesgue, c'est-à-dire en ajoutant tous les sous-ensembles de parties de mesure nulle. Tout borélien est en particulier mesurable au sens de Lebesgue, mais la réciproque est fausse : la tribu de Lebesgue est strictement plus grande que la tribu de Borel.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la tribu de Lebesgue avec ses conditions de complétion.
- Vérifier la construction sur un exemple concret.
- Distinguer la tribu de Lebesgue de la tribu de Borel.
En clair
Imaginez que vous vouliez mesurer des morceaux de ℝⁿ, l'espace à une ou plusieurs dimensions (n ≥ 1). La tribu de Borel contient déjà les ensembles construits à partir des ouverts, comme un intervalle. La tribu de Lebesgue autorise en plus tous les morceaux cachés à l'intérieur d'un ensemble de mesure nulle.
Ce complément élargit la collection des ensembles mesurables sans changer la mesure des ensembles ajoutés, car une partie d'un ensemble de mesure nulle reste négligeable pour cette mesure. La tribu de Borel est donc incluse dans celle de Lebesgue, mais elle ne l'épuise pas.
Définition
Une tribu est une collection de sous-ensembles qui contient l'espace total et qui est stable par complémentaire et par unions dénombrables. Sur ℝⁿ, la tribu de Borel, notée ici 𝓑(ℝⁿ), est engendrée par les ouverts. La mesure de Lebesgue, notée λ, attribue une taille à ses ensembles mesurables.
La tribu de Lebesgue est la complétion de 𝓑(ℝⁿ) pour λ. Elle contient un ensemble E dès qu'il existe un borélien B et un ensemble de mesure nulle Z tels que E diffère de B seulement par une partie de Z. Si Δ désigne la différence symétrique et N une partie de Z, une écriture précise est :
Dans cette écriture, 𝓛(ℝⁿ) désigne la tribu de Lebesgue, N est une partie d'un ensemble λ-nul Z, et B est borélien. Tout borélien est donc Lebesgue-mesurable. La stricte inclusion vient du fait que la complétion ajoute des sous-ensembles d'ensembles nuls qui ne sont pas tous boréliens.
Un exemple, pas à pas
Considérons sur ℝ le borélien B = [0,1]. Prenons aussi l'ensemble Z = {2}, qui est de mesure de Lebesgue nulle, et sa partie N = {2}. Nous voulons vérifier que E = [0,1] ∪ {2} appartient à la tribu de Lebesgue.
Première étape : B est borélien, car tout intervalle fermé est borélien.
Deuxième étape : λ(Z) = 0, car Z ne contient qu'un point.
Troisième étape : N ⊆ Z, puisque N = Z.
Quatrième étape : B et N sont disjoints, car [0,1] ∩ {2} = ∅ ; ainsi E = B ∪ N = B △ N.
Conclusion : E est Lebesgue-mesurable par complétion.
Deuxième étape : λ(Z) = 0, car Z ne contient qu'un point.
Troisième étape : N ⊆ Z, puisque N = Z.
Quatrième étape : B et N sont disjoints, car [0,1] ∩ {2} = ∅ ; ainsi E = B ∪ N = B △ N.
Conclusion : E est Lebesgue-mesurable par complétion.
Le contrôle est direct : l'ajout du point 2 ne change pas la mesure, donc λ(E) = λ([0,1]) = 1. Cet exemple montre le mécanisme d'ajout d'une partie nulle, sans prétendre produire à lui seul un ensemble non borélien.
En pratique
Pour décider si un ensemble est mesurable au sens de Lebesgue, on cherche d'abord à le reconnaître comme borélien. Cette voie suffit pour les ouverts, les fermés et les ensembles obtenus par les opérations autorisées d'une tribu.
Si l'ensemble est une différence symétrique entre un borélien B et une partie N d'un ensemble borélien nul Z, on utilise la propriété de complétion. Le critère observable est alors l'existence de B, de Z et de N tels que λ(Z) = 0, N ⊆ Z et l'ensemble s'écrive B △ N.
Dans l'exemple E = [0,1] ∪ {2}, le bon réflexe consiste à isoler le morceau ajouté {2}, puis à vérifier séparément qu'il est contenu dans l'ensemble nul {2}.
À ne pas confondre
Pour n ≥ 1, la tribu de Borel et la tribu de Lebesgue sont deux collections de sous-ensembles de ℝⁿ. Le critère qui les sépare est la complétion : tout borélien est Lebesgue-mesurable, tandis que la tribu de Lebesgue contient en plus des sous-ensembles de parties de mesure nulle.
Le cas E = [0,1] ∪ {2} ne tranche pas cette opposition, car E est encore borélien. Il tranche seulement la question de la complétion : le point ajouté est une partie d'un ensemble nul. Pour distinguer réellement les deux tribus, il faut considérer les sous-ensembles nuls non boréliens garantis par la stricte inclusion.
Limites et pièges
Un ensemble de mesure nulle n'est pas synonyme d'ensemble vide. Dans l'exemple, {2} n'est pas vide, mais sa mesure de Lebesgue vaut 0. Il faut donc vérifier la nullité mesurée, et non l'absence de points.
La complétion n'autorise pas une partie quelconque de ℝⁿ. Elle autorise une partie N seulement lorsqu'elle est contenue dans un ensemble Z de mesure nulle. Si aucune telle enveloppe n'est établie, le critère ne permet pas de conclure.
Enfin, pour n ≥ 1, « plus grande » signifie une inclusion stricte entre tribus, pas une comparaison de tailles numériques. La tribu de Lebesgue et la tribu de Borel sont toutes deux des collections d'ensembles, et la première contient strictement la seconde.
Pour aller plus loin
Pour situer la construction, consultez la fiche tribu de Borel : elle précise la collection de départ, engendrée par les ouverts, avant la complétion.
La fiche mesure de Lebesgue permet ensuite de relier la tribu à la notion de taille λ utilisée pour reconnaître les ensembles nuls.
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