Complète (mesure)

Imaginez un ensemble de trois points : a, b et c. La règle de mesure attribue une taille nulle au groupe {a, b}, mais elle n'autorise pas encore à mesurer le point a isolément. Il existe donc une partie d'un ensemble négligeable qui échappe à la mesure.

Une mesure complète ferme précisément cette brèche : dès qu'un ensemble mesurable est de mesure nulle, chacune de ses parties devient mesurable et reçoit elle aussi la mesure zéro. La complétion ajoute les parties manquantes sans changer la mesure des ensembles déjà mesurables.

Soit un ensemble X muni d'une tribu Σ, c'est-à-dire une famille de parties déclarées mesurables, et d'une mesure μ définie sur Σ. La mesure μ est complète si, pour tout ensemble Z appartenant à Σ tel que μ(Z) = 0, toute partie N de Z appartient également à Σ. Une telle partie N a alors nécessairement une mesure nulle. La tribu Σ est dite complète relativement à μ lorsqu'elle possède cette propriété.

La complétion ajoute à Σ tous les ensembles pris entre deux ensembles mesurables qui ne diffèrent que d'un ensemble nul. En notant Σ̄ la tribu complétée, ce critère s'écrit :

La mesure complétée μ̄ attribue alors à E la valeur commune μ(A) = μ(B). Cette extension est canonique : elle conserve les valeurs de μ sur Σ et rend mesurables toutes les parties des ensembles μ-nuls. La mesure de Lebesgue, définie sur la tribu de Lebesgue, est complète.

La complétude apparaît dans un espace mesuré, présenté par trois éléments : un ensemble de départ X, une tribu Σ de parties mesurables et une mesure μ. On la rencontre notamment quand un raisonnement isole une partie d'un événement ou d'un ensemble déjà déclaré négligeable. Les marqueurs à repérer sont les expressions « presque partout », « ensemble de mesure nulle », « partie négligeable » et « complétion ». Ils signalent que le statut mesurable des sous-ensembles nuls peut compter, même si leur taille reste zéro.

Pour décider si une mesure est complète, on ne cherche pas la valeur de tous les ensembles. On teste la fermeture de la tribu sous les parties des ensembles nuls.
1. Repérez la tribu Σ et la mesure μ : la complétude dépend de ce couple.
2. Choisissez un ensemble mesurable Z tel que μ(Z) = 0.
3. Examinez ses parties N, y compris celles qui ne sont pas déjà nommées dans Σ.
4. Si chacune appartient à Σ, le test est satisfait pour Z ; une seule partie absente suffit à prouver que la mesure n'est pas complète.

Le piège visuel consiste à croire qu'une partie plus petite est automatiquement mesurable. L'inclusion N ⊆ Z garantit seulement que N devrait avoir une taille nulle si elle est mesurable ; elle ne garantit pas que N appartient à la tribu. Le bon réflexe est donc de vérifier l'appartenance à Σ avant d'écrire μ(N).

Prenons X = {a, b, c}. La tribu de départ est Σ = {∅, {a, b}, {c}, X}. La mesure μ vaut 0 sur ∅ et {a, b}, puis 1 sur {c} et X.

1. L'ensemble Z = {a, b} appartient à Σ et μ(Z) = 0.
2. La partie {a} est incluse dans Z, mais {a} n'appartient pas à Σ.
3. Ce seul contre-exemple prouve que μ n'est pas complète.
4. La complétion ajoute {a}, {b}, puis leurs complémentaires {b, c} et {a, c}. La tribu complétée devient l'ensemble de toutes les parties de X.
5. La mesure complétée vaut 0 pour les parties de {a, b} et 1 pour les parties contenant c.

Le contrôle est direct : les seuls ensembles de mesure nulle sont désormais ∅, {a}, {b} et {a, b}, et toutes leurs parties figurent dans la tribu complétée. La mesure obtenue est donc complète.

Dans une preuve formulée « presque partout », on peut vouloir modifier un objet sur une partie d'un ensemble nul. Une mesure complète garantit que cette partie reste mesurable ; sinon, il faut travailler dans la complétion.

Lorsqu'une mesure est d'abord donnée sur une tribu plus petite, on vérifie si toutes les parties de ses ensembles nuls y figurent. Si ce n'est pas le cas et que ces parties interviennent dans les calculs, la mesure complétée est l'alternative adaptée.

Avec la mesure et la tribu de Lebesgue, aucune extension supplémentaire n'est nécessaire pour mesurer une partie d'un ensemble de mesure nulle : la complétude est déjà acquise.

Mesure complète et espace métrique complet. La première propriété concerne les parties des ensembles de mesure nulle. La seconde concerne la convergence des suites de Cauchy. Dans l'exemple X = {a, b, c}, comme Z = {a, b} appartient à Σ, vérifie μ(Z) = 0 et contient {a}, l'absence de {a} dans Σ suffit à rendre μ incomplète, sans poser de question de distance.

Complétude et complétion. La complétude est une propriété du couple formé par une tribu et une mesure. La complétion est l'opération qui étend un couple incomplet. Dans l'exemple, μ n'est pas complète au départ ; l'ajout des parties manquantes produit sa complétion.

La tribu seule ne suffit pas. Dire qu'une tribu est complète sans préciser la mesure est incomplet : les ensembles nuls, donc les parties à ajouter, dépendent de μ. Il faut toujours identifier le couple (Σ, μ).

Une mesure nulle n'est pas une mesure inexistante. Avant la complétion de l'exemple, μ({a}) n'est pas définie, car {a} n'appartient pas au domaine Σ. Après la complétion seulement, μ̄({a}) = 0.

Compléter ne change pas les anciennes valeurs. L'opération agrandit la tribu et prolonge la mesure ; elle ne réévalue aucun ensemble déjà mesurable. Si une construction modifie μ(A) pour un ensemble A de Σ, ce n'est pas la complétion canonique de μ.

Le seuil décisif est exactement zéro. La définition vise les sous-ensembles des ensembles de mesure nulle, pas ceux de mesure seulement petite. Un ensemble de mesure positive, même minuscule, n'impose pas que toutes ses parties appartiennent à Σ.

La complétion peut aussi se lire comme une extension minimale : elle ajoute exactement ce qui manque autour des ensembles nuls, tout en conservant les ensembles mesurables et leurs valeurs. Cette construction conduit à étudier plus généralement les extensions de mesures et la différence entre une tribu initiale et la tribu obtenue après ajout de tous les ensembles négligeables.