théorème de prolongement de Carathéodory

Imaginez que l’on sache mesurer la longueur de toute réunion finie d’intervalles, mais pas encore celle d’ensembles obtenus par une infinité d’opérations. Le théorème de prolongement de Carathéodory affirme que cette règle de mesure peut être étendue de façon cohérente à la tribu engendrée par ces ensembles simples. Aucune longueur déjà attribuée ne change. Si l’espace se décompose en une suite d’ensembles de mesure finie, une seule extension est possible.

Un anneau d’ensembles est une famille non vide stable par réunion finie et par différence. Sur un ensemble de base X, notons cet anneau A. Une prémesure μ₀ attribue à chaque élément de A un nombre positif ou infini. Elle vaut 0 sur l’ensemble vide et elle est dénombrablement additive dès que la réunion considérée appartient encore à A.

La tribu engendrée par A, notée $\sigma (A)\backslash sigma(A)$, est la plus petite tribu contenant A. Le théorème de prolongement de Carathéodory construit sur cette tribu une mesure μ qui conserve toutes les valeurs initiales :Le mot « mesure » sur l’anneau désigne donc ici la donnée initiale possédant la propriété de prémesure nécessaire au prolongement.

L’existence du prolongement ne demande pas la sigma-finitude. En revanche, si X peut être recouvert par une suite d’ensembles de A ayant chacun une mesure μ₀ finie, alors le prolongement à $\sigma (A)\backslash sigma(A)$ est unique. Cette construction fonde notamment la mesure de Lebesgue et, à sa suite, l’intégrale de Lebesgue.

Soit A un anneau d’ensembles de X et soit μ₀ une prémesure sur A. Alors il existe une mesure μ sur la tribu $\sigma (A)\backslash sigma(A)$ engendrée par A dont la restriction à A est μ₀ :Si X est réunion d’une suite d’ensembles de A sur lesquels μ₀ est finie, alors cette mesure μ est l’unique prolongement de μ₀ à $\sigma (A)\backslash sigma(A)$.

Le théorème s’applique à une famille A stable par réunions finies et différences. La donnée μ₀ doit être une prémesure : elle est positive, vaut 0 sur l’ensemble vide et respecte l’additivité dénombrable lorsque la réunion reste dans A. Le résultat obtenu est une mesure sur toute la tribu $\sigma (A)\backslash sigma(A)$, identique à μ₀ sur les ensembles de départ.

Pour obtenir aussi l’unicité, il faut vérifier la sigma-finitude sur A : une suite d’éléments de A, tous de mesure finie, doit recouvrir X. Une fonction seulement additive pour des réunions finies ne satisfait pas l’hypothèse de prémesure ; le théorème ne garantit alors aucun prolongement. Si la sigma-finitude manque, l’existence subsiste, mais il faut un autre argument pour établir l’unicité.

Prenons X = [0, 1) et l’anneau A formé des réunions finies d’intervalles demi-ouverts. La prémesure μ₀ additionne leurs longueurs. Considérons l’ensemble B formé d’une infinité d’intervalles disjoints, de [1/4, 1/2) à des intervalles de plus en plus proches de 0. Le schéma matérialise les trois premiers termes et leur accumulation vers 0.

1. Pour chaque entier n supérieur ou égal à 1, le n-ième intervalle est défini par :

2. Sa longueur vaut exactement $2^{-(2n-1)}-2^{-2n}=4^{-n}2^\{-(2n-1)\}-2^\{-2n\}=4^\{-n\}$. Les intervalles I_n sont deux à deux disjoints.

3. Leur réunion B appartient à la tribu engendrée par A, mais pas à A, car elle possède une infinité de composantes. Le prolongement μ peut donc mesurer un ensemble que μ₀ ne mesurait pas directement.

4. Par additivité dénombrable, la mesure de B est la somme géométrique de raison 1/4 :

5. Un contrôle par sommes partielles donne 1/4, puis 5/16, puis 21/64 ; ces valeurs augmentent vers 1/3. Comme X lui-même appartient à A et μ₀(X) = 1, la donnée initiale est finie, donc sigma-finie : ce prolongement est unique.

Pour construire la mesure de Lebesgue, on commence par attribuer leur longueur aux intervalles et aux réunions finies d’intervalles. Le prolongement transporte ensuite cette règle vers la tribu engendrée. Si la famille de départ est déjà une tribu munie d’une mesure, aucun prolongement n’est nécessaire.

Pour justifier qu’une règle définit bien une mesure sur une grande famille d’ensembles, on peut travailler d’abord sur un anneau plus maniable. Il faut vérifier l’additivité dénombrable de la prémesure avant d’invoquer le théorème ; la seule additivité finie ne suffit pas.

Pour comparer deux prolongements candidats, on contrôle la sigma-finitude sur les ensembles de départ. Lorsqu’elle est établie, l’unicité évite de recalculer la mesure sur chaque ensemble de la tribu. Sans ce contrôle, il faut démontrer l’égalité des prolongements par un argument distinct.

Le prolongement d’une mesure élargit son domaine de définition tout en conservant ses valeurs initiales. La complétion d’une mesure ajoute à une tribu les sous-ensembles des ensembles négligeables. Dans l’exemple, mesurer la réunion dénombrable B relève du prolongement ; ajouter tous les sous-ensembles d’un ensemble de mesure nulle relève de la complétion.

Un prolongement analytique étend une fonction en conservant son caractère analytique. Le théorème traité ici étend une mesure à davantage d’ensembles. Le critère qui tranche est donc l’objet prolongé : une fonction dans le premier cas, une mesure et son domaine d’ensembles dans le second.

Additivité finie seulement. Si μ₀ additionne correctement deux ensembles disjoints mais échoue pour une suite dénombrable dont la réunion reste dans A, ce n’est pas une prémesure. Il faut établir l’additivité dénombrable ou employer un autre résultat.

Absence de sigma-finitude. Le prolongement existe encore, mais l’énoncé ne garantit plus qu’il soit unique. Le symptôme est l’impossibilité de recouvrir X par une suite d’ensembles de A de mesure finie ; une preuve d’unicité séparée devient nécessaire.

Tribu engendrée et complétion. Partir des intervalles produit d’abord une mesure sur la tribu borélienne engendrée. La complétion qui ajoute tous les sous-ensembles des ensembles négligeables est une opération supplémentaire ; il ne faut pas l’attribuer au seul prolongement.

Mesure infinie globale. Avoir μ(X) = ∞ ne contredit pas nécessairement la sigma-finitude. Le bon test consiste à chercher un recouvrement dénombrable par des ensembles de mesure finie, et non à exiger que l’espace entier ait une mesure finie.

La tribu précise la famille d’ensembles stable par complémentaire et réunion dénombrable sur laquelle vit la mesure prolongée.

La mesure de Lebesgue montre l’aboutissement majeur du prolongement à partir de la longueur des intervalles.

L’intégrale de Lebesgue explique comment une mesure ainsi construite fonde une théorie moderne de l’intégration.