GéométrieUnité de mesure · Glossaire
Mesure extérieure
Une mesure extérieure sur un ensemble X est une application définie sur l'ensemble des parties de X, à valeurs dans les réels positifs étendus, qui est sous-additive dénombrable et nulle sur l'ensemble vide. La construction de Carathéodory associe à toute mesure extérieure une mesure au sens usuel sur une tribu de sous-ensembles mesurables. La mesure de Lebesgue extérieure sur les réels, définie par l'infimum des longueurs totales des recouvrements par des intervalles ouverts, est le principal exemple.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire la définition formelle d'une mesure extérieure et sa sous-additivité dénombrable.
- Calculer la mesure extérieure de Lebesgue d'une réunion de deux intervalles.
- Distinguer un infimum d'un minimum de longueurs de recouvrements.
- Appliquer le critère de Carathéodory qui sélectionne les ensembles mesurables.
En clair
Sur une droite, un ensemble compliqué peut être recouvert par des intervalles ouverts. On additionne leurs longueurs, puis on cherche le plus petit total que ces recouvrements permettent d'approcher. Ce nombre est la mesure extérieure de Lebesgue de l'ensemble.
Le mot « extérieure » rappelle que l'on mesure d'abord sans demander si l'ensemble possède déjà les propriétés nécessaires à une mesure ordinaire. La règle reste prudente : réunir plusieurs ensembles ne peut pas coûter plus que la somme de leurs mesures extérieures.
Définition
Soit X un ensemble. Une mesure extérieure, notée μ*, attribue à chaque partie A de X un nombre positif ou nul, éventuellement infini. Elle vaut 0 sur l'ensemble vide. Pour toute suite de parties A1, A2, … qui recouvre A, elle vérifie la sous-additivité dénombrable :
Cette formulation implique aussi la croissance : si A est inclus dans B, alors μ*(A) ≤ μ*(B).
Sur les réels, la mesure extérieure de Lebesgue de A est l'infimum des sommes de longueurs de suites d'intervalles ouverts qui recouvrent A. L'infimum est la meilleure borne inférieure ; aucun recouvrement n'est obligé d'atteindre exactement cette valeur.
La construction de Carathéodory retient les parties M qui découpent correctement toute partie E de X :
Ces parties forment une tribu, et la restriction de μ* à cette tribu est une mesure au sens usuel.
Où on le rencontre
On rencontre la mesure extérieure lorsque le support est un ensemble X et que l'on veut attribuer une taille à toutes ses parties, pas seulement à une collection déjà déclarée mesurable. Les marqueurs sont une notation comme μ*, la valeur +∞ autorisée, des recouvrements dénombrables et une inégalité plutôt qu'une addition exacte.
Sur la droite réelle, les objets visibles sont des intervalles ouverts et leurs longueurs. Dans la construction de Carathéodory, le contexte change : on teste une partie M contre toute partie E afin de déterminer si M appartient à la tribu mesurable.
Le mode d'emploi
La grandeur lue est une taille, éventuellement infinie, attribuée à une partie de X. 1. Repérez l'ensemble de départ X et la partie A évaluée. 2. Identifiez les objets autorisés pour recouvrir A ; sur les réels, ce sont ici des intervalles ouverts. 3. Additionnez leur coût, puis considérez l'infimum de tous les totaux admissibles. 4. Si la question porte sur la mesurabilité, appliquez le critère de Carathéodory à toute partie E de X.
Un dessin peut faire croire que le meilleur recouvrement doit épouser exactement A. Or les intervalles sont ouverts et peuvent dépasser légèrement ses bords. Le bon réflexe consiste à distinguer chaque total effectivement obtenu de leur infimum, qui peut seulement être approché.
Un exemple, pas à pas
Dans la droite réelle, considérons A = [0 ; 1] ∪ [2 ; 3]. Ses deux composantes fermées ont chacune une longueur égale à 1. Le schéma matérialise un recouvrement ouvert avec une marge ε = 0,1 à chaque extrémité.
1. Les intervalles ouverts ]−0,1 ; 1,1[ et ]1,9 ; 3,1[ recouvrent A. Chacun mesure 1,2, donc leur longueur totale vaut 2,4.
2. Avec une marge positive quelconque ε, les intervalles ]−ε ; 1 + ε[ et ]2 − ε ; 3 + ε[ ont une longueur totale égale à 2 + 4ε. Lorsque ε se rapproche de 0, ces totaux se rapprochent de 2. Ainsi, μ*(A) ≤ 2.
3. Réciproquement, tout recouvrement ouvert de A a une longueur totale au moins égale à 2, puisqu'il recouvre deux intervalles de longueur 1. Donc μ*(A) ≥ 2.
4. Les deux inégalités donnent μ*(A) = 2. Pour contrôler le calcul, on vérifie que 1,2 + 1,2 = 2,4 quand ε = 0,1, puis que 2 + 4ε tend bien vers 2 lorsque ε tend vers 0 par valeurs positives.
En pratique
Pour estimer la taille d'une partie des réels, on choisit des intervalles ouverts qui la recouvrent et l'on cherche à réduire leur longueur totale. Si la partie est déjà une réunion simple d'intervalles, additionner directement leurs longueurs est plus rapide ; les recouvrements deviennent utiles quand sa forme résiste à ce calcul direct.
Pour obtenir une mesure ordinaire à partir d'une mesure extérieure, on ne conserve pas arbitrairement toutes les parties. On applique le critère de Carathéodory ; une partie est retenue lorsque chaque ensemble test est exactement partagé entre son intersection avec elle et son complément relatif.
Pour comparer deux recouvrements, le critère observable est leur coût total, non leur nombre d'intervalles. Un recouvrement comportant davantage d'intervalles peut fournir une somme plus petite et donc une meilleure borne supérieure de la mesure extérieure.
À ne pas confondre
Mesure extérieure et mesure. Une mesure extérieure est définie sur toutes les parties et garantit une inégalité pour les réunions dénombrables. Une mesure est définie sur une tribu et devient additive sur des ensembles deux à deux disjoints. Le critère de Carathéodory indique précisément où la première fournit la seconde.
Mesure extérieure de Lebesgue et mesure de Lebesgue. La première attribue une valeur à toute partie des réels par recouvrements. La seconde est sa restriction aux ensembles retenus comme mesurables. Pour une partie non mesurable, la valeur extérieure existe encore, mais elle n'est pas une valeur de la mesure de Lebesgue.
Infimum et minimum. Un minimum est atteint par un recouvrement particulier ; un infimum est seulement la plus grande borne inférieure des coûts. Dans l'exemple, les recouvrements ouverts proposés coûtent toujours plus de 2, tandis que leur infimum vaut 2.
Limites et pièges
Valeur infinie. La mesure extérieure prend ses valeurs dans les réels positifs étendus : +∞ est donc une valeur admise, pas un échec du calcul. Les égalités où elle intervient doivent être lues dans ce système étendu.
Recouvrement dénombrable. La propriété porte sur une suite d'ensembles, finie ou infinie dénombrable. Elle ne justifie pas automatiquement une somme indexée par une famille non dénombrable.
Mesure extérieure nulle. La condition μ*(∅) = 0 ne signifie pas que seul l'ensemble vide peut valoir 0. Sur les réels, un point se recouvre par un intervalle ouvert de longueur arbitrairement petite ; sa mesure extérieure de Lebesgue est donc nulle.
Test de Carathéodory incomplet. Vérifier l'égalité de découpage sur quelques ensembles E ne suffit pas. La définition exige qu'elle soit vraie pour toute partie E de X ; sinon l'appartenance à la tribu mesurable n'est pas établie.
Pour aller plus loin
La mesure de Lebesgue prolonge l'exemple des recouvrements en donnant une mesure usuelle sur les ensembles mesurables de la droite réelle.
La notion de tribu précise la collection de parties stable sur laquelle les opérations ensemblistes et l'additivité dénombrable restent compatibles.
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