Mesure produit

Imaginez un rectangle de 2 unités de large et 3 unités de haut. Sa surface contient 2 × 3, soit 6 carrés unités. La mesure produit généralise ce geste : elle associe la mesure d’un ensemble A dans un premier espace à celle d’un ensemble B dans un second espace. Sur le rectangle A × B, elle multiplie simplement ces deux mesures.

Cette construction donne ensuite un sens à la taille d’ensembles plus compliqués dans l’espace des couples. Elle permet aussi de ramener une intégrale sur deux variables à deux intégrales successives, lorsque les hypothèses du théorème employé sont satisfaites.

Soient un espace mesurable X muni d’une tribu F et d’une mesure sigma-finie μ, puis un espace mesurable Y muni d’une tribu G et d’une mesure sigma-finie ν. La tribu produit F ⊗ G est la plus petite tribu sur X × Y contenant tous les rectangles A × B, où A appartient à F et B à G. La mesure produit, notée μ × ν, est l’unique mesure sur cette tribu qui vérifie, pour chaque rectangle mesurable :

La sigma-finitude signifie que chaque espace est réunion dénombrable d’ensembles de mesure finie ; elle garantit ici le cadre d’existence et d’unicité annoncé. Pour les mesures de Lebesgue, leur produit donne la mesure de Lebesgue usuelle sur ℝⁿ. Dans le cadre sigma-fini, Tonelli traite les fonctions mesurables positives, avec une valeur éventuellement infinie, tandis que Fubini traite les fonctions intégrables : leurs intégrales itérées existent presque partout et donnent la même intégrale sur l’espace produit.

On rencontre une mesure produit dès que chaque observation possède deux coordonnées : un point du plan, un couple temps-position ou deux résultats aléatoires. Quatre marqueurs la signalent : un espace écrit X × Y, des ensembles rectangulaires A × B, deux mesures μ et ν, puis une intégrale comportant deux variables.

Le support n’est pas seulement un dessin rectangulaire. C’est l’espace de tous les couples possibles, muni de la tribu produit afin que ses sous-ensembles mesurables aient une taille. Dans ℝ², la mesure produit de deux mesures de Lebesgue porte l’information d’aire ; dans ℝⁿ, elle porte le volume n-dimensionnel usuel.

La grandeur lue est la mesure d’un ensemble de couples dans X × Y. Premièrement, repérez les deux espaces, leurs tribus et leurs mesures. Deuxièmement, vérifiez que l’ensemble est un rectangle A × B ; dans ce cas, multipliez μ(A) par ν(B). Troisièmement, pour un ensemble général, décrivez ses sections à x ou à y : à x fixé, une section est la tranche formée par les valeurs possibles de y ; dans un triangle, sa longueur varie avec x. Mesurez cette tranche dans l’autre espace. Quatrièmement, intégrez ces mesures de sections lorsque les hypothèses de Tonelli ou de Fubini s’appliquent.

La convention décisive est l’ordre des coordonnées : X × Y contient des couples (x, y). Un dessin peut faire croire que toute forme se mesure en multipliant largeur et hauteur. Ce produit direct ne vaut que pour un rectangle produit ; pour une forme dont les sections varient, il faut intégrer la longueur ou la mesure de chaque section.

Prenons X = [0, 2] et Y = [0, 3], tous deux munis de la mesure de Lebesgue. Les données sont le rectangle A × B = [0, 2] × [0, 3], les longueurs μ(A) = 2 et ν(B) = 3, puis la fonction f définie par f(x, y) = x + y. Le quadrillage en six carrés unités matérialise le produit 2 × 3 sans remplacer le calcul.

1. La mesure du rectangle vaut 2 × 3 = 6 unités d’aire.
2. En intégrant d’abord selon x, on obtient ${\int }_0^2(x+y)dx=2+2y\backslash int\_0^2(x+y)\backslash ,dx=2+2y$.
3. L’intégrale selon y vaut alors ${\int }_0^3(2+2y)dy=15\backslash int\_0^3(2+2y)\backslash ,dy=15$.
4. Dans l’autre ordre, ${\int }_0^3(x+y)dy=3x+\frac{9}{2}\backslash int\_0^3(x+y)\backslash ,dy=3x+\backslash frac92$, puis l’intégrale selon x vaut aussi 15.

Le résultat est donc 15 pour l’intégrale de f sur le rectangle. Un contrôle indépendant consiste à utiliser la valeur moyenne de x + y : elle vaut 1 + 1,5 = 2,5 sur ce rectangle, et 2,5 × 6 = 15.

Pour calculer une aire plane, on peut découper la forme en tranches verticales ou horizontales. Un simple produit suffit si toutes les tranches ont la même longueur, comme dans un rectangle ; lorsque leur longueur varie, une intégrale de sections fournit une méthode générale.

Pour intégrer une fonction de deux variables, on choisit l’ordre qui rend les intégrales successives les plus lisibles. Fubini autorise l’échange pour une fonction intégrable ; Tonelli est l’outil adapté à une fonction mesurable positive, même avant de savoir si l’intégrale est finie.

Pour construire le volume usuel sur ℝⁿ, on combine n copies de la mesure de Lebesgue sur ℝ. Cette construction géométrique ne suppose aucune indépendance probabiliste : chaque pavé mesurable reçoit le produit des longueurs de ses côtés.

Produit de mesures et produit de nombres. Le nombre μ(A)ν(B) donne la valeur sur un rectangle, mais μ × ν est une mesure définie sur toute la tribu produit. Une forme non rectangulaire tranche immédiatement : sa mesure ne s’obtient pas par une unique multiplication.

Mesure produit et loi jointe. Une loi jointe décrit la répartition d’un couple aléatoire et peut traduire une dépendance. Elle est la mesure produit des lois marginales seulement dans le cas d’indépendance. Ainsi, deux variables toujours égales ont une loi concentrée sur la diagonale, contrairement au produit de leurs lois non dégénérées.

Tribu produit et ensemble des produits. La tribu F ⊗ G contient les rectangles mesurables et toutes les combinaisons dénombrables imposées par les règles d’une tribu. Elle ne se réduit donc pas aux seuls ensembles A × B. Une réunion de deux rectangles disjoints peut appartenir à la tribu sans être elle-même un rectangle produit.

Fonction de signe variable non intégrable. Si l’intégrale de la valeur absolue n’est pas finie, échanger les intégrales peut produire des résultats différents ou indéfinis. Le symptôme est l’apparition de termes infinis de signes opposés. Il faut vérifier l’intégrabilité absolue avant d’invoquer Fubini.

Fonction positive d’intégrale infinie. Tonelli permet encore de comparer les intégrales itérées dans [0, +∞], mais leur valeur commune peut être +∞. Le seuil charnière est donc la finitude : une égalité à +∞ n’autorise pas à présenter la fonction comme intégrable.

Presque partout ne signifie pas partout. Dans l’énoncé de Fubini, une intégrale de section peut ne pas exister sur un ensemble de valeurs de mesure nulle. Le bon réflexe consiste à conserver la qualification « presque partout » au lieu d’affirmer que chaque section est intégrable.

Hors du cadre sigma-fini. Les garanties usuelles d’unicité et d’interversion ne se transfèrent pas automatiquement à des mesures arbitraires. Si aucun recouvrement dénombrable par des ensembles de mesure finie n’est disponible, il faut revenir à l’énoncé précis du théorème utilisé plutôt que prolonger la règle par analogie.

Fubini Guido — Situer le mathématicien dont le nom reste attaché à l’interversion des intégrales.

Lebesgue Henri — Relier la mesure produit à la construction des mesures de Lebesgue sur les espaces euclidiens.