AnalyseNotion · Glossaire
tribu de Borel
La tribu de Borel d'un espace topologique X est la tribu engendrée par les ouverts de la topologie de X, c'est-à-dire la plus petite tribu contenant tous les ouverts. Elle est notée B(X) ou simplement B. Les éléments de cette tribu sont appelés les boréliens de X. La tribu de Borel est un outil central de l'analyse et de la théorie de la mesure : elle permet de définir la tribu de Lebesgue et, par suite, la mesure de Lebesgue, ainsi que les fonctions mesurables et les mesures de probabilité.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la tribu de Borel comme la plus petite tribu contenant les ouverts.
- Construire les intervalles [0, 1] et [0, 1[ par opérations boréliennes.
- Distinguer topologie, tribu de Borel et tribu de Lebesgue.
- Repérer les pièges liés aux unions non dénombrables et à la complétion.
En clair
Sur une droite, prenez tous les intervalles ouverts, puis autorisez deux gestes : passer à ce qui reste en dehors et réunir une suite d'ensembles. Les ensembles que ces gestes suffisent à fabriquer sont les boréliens.
La tribu de Borel rassemble exactement ces ensembles, sans en ajouter inutilement. Elle fournit ainsi une collection stable sur laquelle on peut attribuer des longueurs ou des probabilités sans perdre le contrôle des opérations usuelles.
Définition
Soit X un espace topologique, et soit la lettre 𝒯 sa topologie, c'est-à-dire la famille de ses ouverts. La tribu de Borel de X, notée B(X) ou 𝓑(X), est la plus petite tribu sur X qui contient 𝒯. Une tribu contient X, reste stable par passage au complémentaire et par réunion dénombrable. Elle reste donc aussi stable par intersection dénombrable. Les éléments de 𝓑(X) sont les boréliens de X.
Autrement dit, 𝓑(X) est l'intersection de toutes les tribus sur X qui contiennent les ouverts :
La construction dépend de la topologie choisie. Sur la droite réelle munie de sa topologie usuelle, elle contient notamment les ouverts, les fermés, les intervalles et les ensembles obtenus par une suite dénombrable de ces opérations. La tribu de Lebesgue complète cette tribu en ajoutant, entre autres, les sous-ensembles des ensembles boréliens de mesure nulle. Ce cadre sert à définir la mesure de Lebesgue, les fonctions mesurables et les mesures de probabilité.
Un exemple, pas à pas
On travaille sur la droite réelle ℝ avec sa topologie usuelle. Les données sont les deux demi-droites ouvertes ]−∞, 0[ et ]1, +∞[, ainsi que l'intervalle ouvert ]−∞, 1[. Le but est de vérifier que [0, 1] puis [0, 1[ sont boréliens.
1. Réunir ]−∞, 0[ et ]1, +∞[. Cette réunion est ouverte, donc borélienne.
2. Prendre son complémentaire dans ℝ. On obtient exactement l'intervalle fermé : . La stabilité par complémentaire prouve que [0, 1] est borélien.
La représentation sur une droite met en évidence les deux demi-droites retirées et le segment conservé.
3. Intersecter [0, 1] avec l'ouvert ]−∞, 1[. Le résultat est [0, 1[, encore borélien, car une tribu est stable par intersection finie.
4. Pour contrôler le raisonnement, on vérifie les extrémités : 0 appartient aux deux ensembles intersectés, tandis que 1 n'appartient pas à ]−∞, 1[. L'intervalle obtenu contient donc 0 mais pas 1, comme attendu.
En pratique
Pour mesurer des sous-ensembles de ℝ, on commence souvent par les boréliens : intervalles, ouverts et ensembles construits par opérations dénombrables. Si l'on doit aussi mesurer tous les sous-ensembles des ensembles négligeables, on choisit plutôt la tribu de Lebesgue.
En probabilités sur un espace topologique, une mesure définie sur la tribu de Borel attribue des probabilités aux événements boréliens. Une autre tribu est préférable lorsque le modèle impose explicitement une famille d'événements différente.
Pour étudier une fonction entre espaces topologiques, on vérifie souvent que l'image réciproque de chaque borélien est mesurable. Ce test relie la structure topologique du domaine d'arrivée à la tribu choisie sur le domaine de départ.
À ne pas confondre
Topologie. Une topologie est stable par unions quelconques et intersections finies ; une tribu est stable par compléments et unions dénombrables. Sur ℝ, [0, 1] est borélien mais n'est pas ouvert : le test sépare les deux familles.
Tribu de Lebesgue. Sur ℝ, elle contient la tribu de Borel et la complète pour la mesure de Lebesgue. Un sous-ensemble d'un borélien de mesure nulle est Lebesgue-mesurable, sans être nécessairement borélien.
Tribu arbitraire. Une tribu sur X n'est une tribu de Borel que si elle est engendrée par une topologie précisée. Le critère décisif n'est donc pas seulement la stabilité des opérations, mais son lien avec les ouverts.
Limites et pièges
Union non dénombrable. La stabilité d'une tribu garantit les réunions finies ou dénombrables, pas toutes les réunions indexées par un ensemble quelconque. Il faut chercher une autre description dénombrable de l'ensemble avant de conclure qu'il est borélien.
Dépendance à la topologie. La notation 𝓑(X) ne suffit pas si plusieurs topologies sur X sont envisagées. Il faut préciser les ouverts de départ : modifier la topologie peut modifier la tribu engendrée.
Tous les sous-ensembles. Sur ℝ usuel, les boréliens ne forment pas l'ensemble de toutes les parties de ℝ. Vérifier seulement qu'un ensemble est inclus dans ℝ ne prouve rien ; il faut exhiber sa construction borélienne ou invoquer un résultat adapté.
Complétion implicite. Une mesure borélienne n'est pas automatiquement complète. Lorsqu'un raisonnement utilise tous les sous-ensembles d'un ensemble de mesure nulle, il faut compléter l'espace mesuré ou travailler dans une tribu déjà complète.
Pour aller plus loin
La notion de tribu détaille les opérations de stabilité qui rendent possibles mesures et probabilités.
La tribu de Lebesgue montre comment compléter les boréliens pour inclure les sous-ensembles des ensembles négligeables.
La mesure de Lebesgue relie cette structure d'ensembles à la notion de longueur sur la droite réelle.
Une fonction mesurable prolonge l'étude en expliquant le rôle des images réciproques d'ensembles mesurables.
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