AnalyseObjet mathématique · Glossaire
Espace mesurable
Un espace mesurable est un couple (E, F) où E est un ensemble et F est une tribu sur E, c'est-à-dire une famille de sous-ensembles de E stable par complémentation et par union dénombrable, et contenant l'ensemble vide. Les ensembles de F sont appelés ensembles mesurables. Un espace mesurable fournit le cadre de définition des fonctions mesurables ; une mesure sur (E, F) est définie sur la tribu F. L'exemple fondamental est (R, B(R)) où B(R) est la tribu borélienne engendrée par les intervalles ouverts.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les deux composantes d’un espace mesurable.
- Vérifier les trois propriétés d’une tribu sur un exemple fini.
- Distinguer un espace mesurable d’un espace mesuré et d’une topologie.
- Relier la tribu borélienne, les mesures et les fonctions mesurables.
En clair
Prenons les quatre nombres 1, 2, 3 et 4. On veut distinguer seulement les nombres pairs des impairs. Les groupes autorisés sont alors : aucun nombre, les deux pairs, les deux impairs, ou les quatre nombres.
L’ensemble de départ et cette collection de groupes forment un espace mesurable. La collection est conçue pour rester cohérente : refuser un groupe revient à garder son complément, et réunir des groupes autorisés produit encore un groupe autorisé. Elle fixe ainsi les questions auxquelles une future mesure pourra attribuer une valeur.
Définition
Un espace mesurable est un couple formé d’un ensemble E et d’une famille F de sous-ensembles de E. La famille F, appelée tribu ou sigma-algèbre, détermine quels sous-ensembles sont mesurables. Elle contient l’ensemble vide. Si un ensemble A appartient à F, son complémentaire dans E appartient aussi à F. Enfin, la réunion de toute suite dénombrable d’ensembles de F appartient encore à F.
Ces conditions entraînent notamment que E appartient à F et que F est stable par intersections dénombrables. Elles garantissent que les opérations usuelles sur les événements ou les ensembles étudiés restent dans le domaine autorisé. Une mesure attribue ensuite des valeurs aux éléments de F ; une fonction mesurable respecte, quant à elle, les tribus choisies sur ses espaces de départ et d’arrivée.
Sur l’ensemble des nombres réels ℝ, l’exemple fondamental est la tribu borélienne, notée B(ℝ). C’est la plus petite tribu contenant tous les intervalles ouverts. Le couple (ℝ, B(ℝ)) constitue donc un espace mesurable.
De quoi c'est fait
La structure repose sur quatre éléments liés. L’ensemble E fournit tous les objets possibles. Ses sous-ensembles représentent les regroupements que l’on pourrait examiner. La tribu F sélectionne les regroupements déclarés mesurables. Enfin, les trois règles de fermeture imposent la présence de l’ensemble vide et préservent la sélection sous complémentation et sous union dénombrable.
Le complémentaire dépend de E : il rassemble les éléments de E laissés hors du sous-ensemble considéré. De même, une mesure ne porte pas directement sur tous les sous-ensembles de E, mais sur ceux retenus dans F. Le couple (E, F) suffit à définir le domaine d’une mesure ou l’espace de départ d’une fonction mesurable ; aucune valeur numérique n’est encore attribuée.
Un exemple, pas à pas
On prend l’ensemble E = {1, 2, 3, 4}. Le sous-ensemble A = {2, 4} rassemble les nombres pairs, et son complémentaire dans E est Ac = {1, 3}. La famille étudiée est F = {∅, A, Ac, E}. La séparation en deux groupes suffit à visualiser les quatre ensembles de F.
1. L’ensemble vide ∅ appartient bien à F.
2. Chaque complémentaire reste dans F : ∅ et E s’échangent, tout comme A et Ac.
3. Toute union dénombrable d’éléments de F vaut encore ∅, A, Ac ou E. Par exemple, A ∪ Ac = E et A ∪ ∅ = A. Les trois conditions sont vérifiées : F est une tribu sur E, donc (E, F) est un espace mesurable. Le contrôle consiste à constater qu’aucune des opérations exigées ne crée un cinquième sous-ensemble.
En pratique
En probabilités, on choisit une tribu d’événements avant de leur attribuer des probabilités. Dans l’exemple des quatre nombres, la tribu fondée sur la parité convient si l’observation distingue seulement « pair » et « impair ». Si chaque résultat doit être distingué, il faut choisir une tribu plus fine.
En théorie de la mesure, le choix de F fixe les ensembles auxquels une mesure peut donner une taille. Sur ℝ, la tribu borélienne est adaptée lorsque les intervalles ouverts et les ensembles construits à partir d’eux doivent être mesurables.
Pour étudier une fonction mesurable, on examine les tribus de son domaine et de son codomaine. Le choix pertinent est celui qui rend mesurables les ensembles dont la fonction doit permettre l’étude, sans supposer d’emblée que tous les sous-ensembles sont autorisés.
À ne pas confondre
Espace mesurable et espace mesuré. Un espace mesurable est seulement muni d’une tribu F. Un espace mesuré possède en plus une mesure qui attribue une valeur aux ensembles de F. Dans l’exemple fini, donner F suffit pour le premier ; indiquer aussi les valeurs mesurées est nécessaire pour le second.
Tribu et topologie. Une tribu est stable par unions dénombrables et par complémentation. Une topologie est stable par unions quelconques et par intersections finies, sans exiger la stabilité par complémentation. Pour les réels, les intervalles ouverts engendrent à la fois une topologie et une tribu borélienne, mais ces deux collections ne coïncident pas.
Ensemble mesurable et espace mesurable. Un ensemble mesurable est un élément A de la tribu F. L’espace mesurable est le couple entier (E, F). Ainsi {2, 4} est mesurable dans l’exemple, tandis que (E, F) désigne la structure qui rend cette affirmation possible.
Limites et pièges
Tribu minimale. La famille {∅, E} est toujours une tribu sur E. Elle ne distingue aucun sous-ensemble propre non vide : si une question porte sur {2, 4}, cette tribu est trop grossière et doit être enrichie.
Tribu maximale. L’ensemble de tous les sous-ensembles de E forme aussi une tribu. Sur l’ensemble fini {1, 2, 3, 4}, cette famille compte 24 = 16 éléments, contre quatre dans la tribu fondée sur la parité. Le choix maximal conserve toute l’information, mais il n’est pas imposé par la définition.
Union dénombrable seulement. L’axiome garantit les unions d’une suite finie ou dénombrable d’ensembles mesurables. Il ne faut pas en déduire sans preuve la stabilité sous une union indexée par une famille non dénombrable.
Sous-ensemble non automatiquement mesurable. Le fait que A soit inclus dans E ne suffit pas : il faut aussi que A appartienne à F. Le bon réflexe consiste à vérifier l’appartenance à la tribu choisie avant d’appliquer une mesure ou un raisonnement de mesurabilité.
Pour aller plus loin
La notion de tribu approfondit les règles qui sélectionnent les ensembles mesurables et les constructions qu’elles autorisent.
La fiche fonction mesurable montre comment deux espaces mesurables encadrent une fonction et rendent compatibles leurs ensembles mesurables.
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