Espace probabilisable

Lancez un dé et notez les résultats possibles : 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Cet ensemble forme l'univers. Pour parler d'un résultat pair, on regroupe 2, 4 et 6 dans un événement. Une collection cohérente de tels événements constitue une tribu : elle contient aussi les événements complémentaires et ceux obtenus par réunions dénombrables.

L'univers et cette tribu forment l'espace probabilisable. Ils disent ce que l'expérience peut produire et quelles questions recevront une probabilité, mais ils ne fixent encore aucune chance.

Un espace probabilisable est un couple formé d'un ensemble non vide Ω, appelé univers, et d'une tribu 𝓕 de parties de Ω. La tribu contient Ω ; elle contient le complémentaire de chacun de ses éléments ; elle contient toute réunion dénombrable de ses éléments. Ses membres sont les événements auxquels une probabilité pourra être attribuée. Le couple (Ω, 𝓕) est donc d'abord un espace mesurable.

Le qualifier de probabilisable signifie qu'il existe sur 𝓕 au moins une mesure de probabilité P : elle est positive, vaut 1 sur Ω et additionne les probabilités d'une famille dénombrable d'événements deux à deux disjoints. Ces conditions s'écrivent $P(\mathrm{\Omega })=1,P\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\bigcup }_{n\ge 1}{A}_n\right)={\sum }_{n\ge 1}P(A_n)P(\backslash Omega)=1,\backslash qquad\; P\backslash !\backslash left(\backslash bigcup\_\{n\backslash geq\; 1\}\; A\_n\backslash right)=\backslash sum\_\{n\backslash geq\; 1\}P(A\_n)$ lorsque les événements A_n sont deux à deux disjoints.

Tout espace mesurable non vide possède une telle mesure : après avoir choisi un point ω₀ de Ω, la mesure de Dirac donne la probabilité 1 aux événements qui contiennent ω₀, et 0 aux autres. Une variable aléatoire réelle est ensuite une fonction mesurable définie sur Ω ; son espérance, lorsqu'elle existe, se calcule en l'intégrant par rapport à la probabilité choisie.

La structure repose sur quatre éléments à distinguer. L'univers Ω rassemble toutes les issues envisagées. La tribu 𝓕 sélectionne les parties de Ω admises comme événements ; elle est stable par complémentaire et par réunion dénombrable. Un événement A est donc un élément de 𝓕, et non une partie quelconque supposée mesurable sans vérification. La probabilité P n'appartient pas encore au couple, mais elle peut être ajoutée sur 𝓕.

La tribu dépend de l'univers, tandis que P prend les événements de la tribu comme arguments. Une variable aléatoire X dépend elle aussi de cette structure : pour être mesurable, les ensembles d'issues correspondant aux valeurs qu'elle sélectionne doivent appartenir à 𝓕. Le couple (Ω, 𝓕) suffit à poser les événements et la mesurabilité ; le triplet (Ω, 𝓕, P) permet en plus de calculer probabilités et espérances.

Prenons un dé équilibré à six faces. Les données sont l'univers Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, la tribu 𝓕 formée de toutes les parties de Ω, et la probabilité uniforme qui attribue 1/6 à chaque issue. L'événement A « obtenir un nombre pair » vaut {2, 4, 6}.

1. L'ensemble A appartient à 𝓕, puisque 𝓕 contient toutes les parties de Ω. Son complémentaire {1, 3, 5} appartient également à 𝓕.

2. Les événements singletons {2}, {4} et {6} sont deux à deux disjoints et ont chacun la probabilité 1/6. La sigma-additivité donne $P(A)=P(\{2\})+P(\{4\})+P(\{6\})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}P(A)=P(\backslash \{2\backslash \})+P(\backslash \{4\backslash \})+P(\backslash \{6\backslash \})=\backslash frac\{3\}\{6\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$.

3. Définissons la variable aléatoire X comme le nombre affiché par le dé. Elle associe à chaque issue sa valeur numérique et elle est mesurable, car toutes les parties de Ω sont dans 𝓕.

4. Son espérance vaut $\mathbb{E}[X]={\sum }_{k=1}^{6}kP(\{k\})=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{7}{2}=\mathrm{3,5}\backslash mathbb\{E\}[X]=\backslash sum\_\{k=1\}^\{6\}\; k\backslash ,P(\backslash \{k\backslash \})=\backslash frac\{1+2+3+4+5+6\}\{6\}=\backslash frac\{7\}\{2\}=3\{,\}5$. Le contrôle consiste à regrouper les faces opposées : 1 + 6, 2 + 5 et 3 + 4 valent chacune 7, soit 21/6 = 3,5.

La représentation de l'univers met en évidence les trois issues de A et permet de recompter directement la proportion 3 sur 6.

Pour une expérience finie, on commence par énumérer les issues, puis on choisit les événements auxquels les calculs devront s'appliquer. Prendre toutes les parties de l'univers est le choix le plus direct ; une tribu plus petite convient si seules certaines distinctions sont observables.

Pour une grandeur continue, comme un temps d'attente, énumérer toutes les parties n'est pas le geste usuel. On choisit une tribu adaptée aux intervalles et aux opérations de mesure, généralement la tribu borélienne, avant de définir une loi de probabilité.

Lorsqu'un calcul demande seulement quels ensembles sont mesurables, le couple (Ω, 𝓕) suffit. Dès qu'il faut comparer des chances ou calculer une espérance, il faut préciser P et travailler dans l'espace probabilisé (Ω, 𝓕, P).

Espace probabilisé. Il comprend une probabilité P effectivement choisie, alors qu'un espace probabilisable ne contient que Ω et 𝓕. Pour le dé, le couple reste le même si l'on remplace le dé équilibré par un dé truqué ; le triplet change avec les six probabilités.

Univers des possibles. L'univers Ω ne donne que la liste des issues. Il ne devient un espace probabilisable qu'accompagné d'une tribu 𝓕. Sur {1, 2, 3, 4, 5, 6}, connaître les faces ne précise pas encore quels sous-ensembles sont retenus comme événements.

Variable aléatoire. Une variable aléatoire est une fonction mesurable définie sur l'univers, non l'espace lui-même. Dans l'exemple, X associe un nombre à chaque face ; (Ω, 𝓕) fournit le domaine et les événements nécessaires à sa mesurabilité.

Univers vide. Si Ω est vide, toute mesure lui attribue une masse nulle, alors qu'une probabilité exige P(Ω) = 1. La condition « non vide » est donc indispensable à l'affirmation selon laquelle tout espace mesurable est probabilisable.

Existence sans unicité. Être probabilisable garantit au moins une probabilité, pas une loi canonique. Sur les six faces, de nombreuses répartitions de masse sont possibles. Il faut préciser si le dé est équilibré, truqué ou soumis à un autre modèle avant tout calcul.

Tribu trop pauvre. La tribu {∅, Ω} est valide sur tout univers, mais elle ne permet pas de distinguer l'événement « résultat pair » de l'exemple. Si un événement utile n'appartient pas à 𝓕, il faut enrichir la tribu avant de lui attribuer une probabilité.

Probabilisable ne signifie pas compatible avec toute exigence. La mesure de Dirac prouve l'existence en concentrant toute la masse sur un point. Elle ne fournit ni une loi uniforme, ni une loi sans atome. Ces propriétés supplémentaires doivent être établies séparément.

Espace mesurable — Pour approfondir le couple formé par un ensemble et une tribu, avant tout choix de probabilité.

tribu — Pour examiner les règles de stabilité qui déterminent quels sous-ensembles sont mesurables.

variable aléatoire — Pour voir comment une fonction mesurable transforme les issues en valeurs numériques.

intégrale de Lebesgue — Pour approfondir l'outil qui définit l'espérance d'une variable aléatoire intégrable.