Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience dont l'issue ne peut pas être prédite avec certitude avant qu'elle soit réalisée, bien que l'ensemble de toutes les issues possibles soit connu. L'espace des issues possibles est appelé l'espace d'échantillonnage ou univers. Des exemples classiques sont le lancer d'un dé, le tirage d'une carte, ou la mesure d'une grandeur physique soumise à des fluctuations. La théorie des probabilités formalise l'étude des expériences aléatoires par la notion d'espace de probabilité.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître une expérience aléatoire à l'imprévisibilité de son issue avant réalisation.
- Construire l'univers et un événement à partir d'un lancer de dé.
- Savoir que des issues possibles ne sont pas nécessairement équiprobables.
- Distinguer le protocole, l'issue, l'événement et la probabilité.
En clair
On lance un dé à six faces. Avant le lancer, on sait que le résultat sera 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, mais on ignore lequel apparaîtra. Le lancer est une expérience aléatoire, et le nombre obtenu est son issue.
L'incertitude porte donc sur le résultat à venir, pas sur la liste des résultats envisagés. Une fois le dé immobilisé, l'expérience est réalisée et une seule issue est observée.
Définition
Une expérience aléatoire est un protocole dont on ne peut pas prévoir avec certitude l'issue avant sa réalisation, alors que l'ensemble des issues retenues par le modèle est connu. Cet ensemble se nomme univers ou espace d'échantillonnage. On le note souvent Ω. Pour un lancer d'un dé à six faces, l'univers est .
Une issue est un résultat élémentaire de l'expérience. Un événement est un ensemble d'issues : dans ce modèle fini, « obtenir un nombre pair » réunit 2, 4 et 6. Pour calculer, on précise les événements étudiés, puis on attribue à chacun une probabilité comprise entre 0 et 1. L'univers, les événements et cette attribution forment un espace de probabilité.
Le modèle dépend du protocole et du degré de détail choisi. Un tirage de carte, une mesure physique fluctuante ou plusieurs lancers successifs ont des univers différents. Connaître l'univers ne signifie ni que toutes les issues sont réalisables dans les mêmes conditions, ni qu'elles ont la même probabilité.
Un exemple, pas à pas
On lance une fois un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. Les données sont le protocole, les six résultats possibles et l'événement A : « obtenir un nombre pair ».
1. Écrire l'univers : .
2. Repérer les issues qui réalisent A : .
3. Compter trois issues favorables parmi six issues possibles.
4. Comme le dé est équilibré, les six issues sont équiprobables.
2. Repérer les issues qui réalisent A : .
3. Compter trois issues favorables parmi six issues possibles.
4. Comme le dé est équilibré, les six issues sont équiprobables.
La probabilité de l'événement A vaut donc . Le contrôle consiste à traiter l'événement contraire « obtenir un nombre impair » : il contient aussi trois issues, donc sa probabilité vaut 1/2. Les deux probabilités totalisent exactement 1.
En pratique
Dans un jeu de hasard, on commence par fixer le geste réalisé et les résultats distingués. Pour un lancer de dé, la liste 1 à 6 convient si seule la face obtenue compte ; il faut un autre univers si l'on observe aussi la manière dont le dé tombe.
Dans un tirage de carte, on peut prendre chaque carte comme issue. Si la question porte seulement sur la couleur, regrouper les cartes en événements évite de remplacer inutilement l'expérience par un modèle moins détaillé.
Pour une grandeur physique fluctuante, on précise l'appareil, les conditions et la précision de lecture. Un univers continu convient si toute valeur d'un intervalle est modélisée ; des classes de mesure sont préférables si l'instrument ne distingue que des paliers.
À ne pas confondre
Expérience aléatoire et issue. L'expérience est le protocole réalisé ; l'issue est le résultat observé. « Lancer le dé » désigne l'expérience, tandis que « obtenir 4 » désigne une issue.
Issue et événement. Une issue est élémentaire dans le modèle choisi ; un événement peut en rassembler plusieurs. Pour le dé, 2 est une issue, alors que « obtenir un nombre pair » est l'événement formé par 2, 4 et 6.
Expérience aléatoire et probabilité. La première décrit ce qui est effectué et ce qui peut arriver. La probabilité est la valeur attribuée à un événement. Lister les six faces du dé ne suffit pas à affirmer qu'elles sont équiprobables : il faut aussi supposer le dé équilibré.
Limites et pièges
Univers incomplet. Si le dé peut rester en équilibre sur une arête, sortir de la zone de jeu ou être illisible, l'univers {1, 2, 3, 4, 5, 6} omet des résultats observables. Il faut préciser que ces lancers sont recommencés, ou ajouter les issues correspondantes.
Équiprobabilité supposée. Six faces possibles ne donnent pas automatiquement une probabilité de 1/6 à chacune. Si le dé est déséquilibré, on conserve le même univers mais on détermine les probabilités à partir d'un modèle physique explicite, ou on les estime à l'aide de fréquences expérimentales.
Niveau de détail mal choisi. Le résultat d'une mesure physique dépend de sa résolution. Avant d'énumérer les issues, il faut fixer la grandeur mesurée, les conditions, l'unité et la précision de l'instrument ; sinon, l'univers annoncé reste ambigu.
Répétitions déclarées indépendantes. Répéter le même protocole ne garantit pas que les résultats n'aient aucune influence entre eux. Pour deux lancers, l'indépendance exige une hypothèse supplémentaire, justifiée par les conditions de réalisation ou vérifiée par le modèle.
Pour aller plus loin
Événement précise comment une propriété du résultat devient un sous-ensemble de l'univers auquel on peut attribuer une probabilité.
variable aléatoire montre comment associer une valeur numérique aux issues afin d'étudier les résultats d'une expérience.
Calcul des probabilités : prolonge la modélisation en présentant les outils qui servent à calculer les chances des événements.
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