Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Issue
En théorie des probabilités, une issue (ou éventualité) est l'un des résultats élémentaires possibles d'une expérience aléatoire. L'ensemble de toutes les issues possibles constitue l'espace fondamental (ou univers) de l'expérience, souvent noté Omega. Par exemple, pour un lancer de dé, les issues sont {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Un événement est alors un sous-ensemble de l'espace fondamental (une réunion d'issues). La probabilité est une mesure sur l'espace fondamental vérifiant certains axiomes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier une issue parmi les résultats possibles d'une expérience aléatoire.
- Distinguer une issue, l'univers et un événement.
- Calculer la probabilité d'un événement simple pour un dé équilibré.
- Repérer quand le simple comptage des issues ne suffit pas.
En clair
Lancez un dé et regardez la face obtenue. Si elle porte 4, le résultat 4 est une issue de cette expérience. Avant le lancer, six issues sont possibles : 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Après le lancer, une seule est observée.
Une issue est donc un résultat élémentaire : elle décrit une possibilité unique, et non un groupe de possibilités. Le groupe « obtenir un nombre pair », par exemple, réunit les trois issues 2, 4 et 6.
Définition
Dans une expérience aléatoire, une issue, aussi appelée éventualité, est l'un des résultats élémentaires possibles. L'ensemble de toutes les issues forme l'espace fondamental, également nommé univers. Cet ensemble est souvent représenté par la lettre grecque oméga, notée .
Pour le lancer d'un dé à six faces, . Chacun de ces six nombres est une issue. Un événement n'est pas nécessairement élémentaire : il est un sous-ensemble de l'univers, donc une réunion d'issues. Ainsi, « obtenir un nombre pair » correspond au sous-ensemble {2, 4, 6}.
Une probabilité associe une mesure aux événements de cet univers et respecte les axiomes des probabilités. Dans le cas d'un dé équilibré, chaque issue reçoit la même probabilité, soit 1/6. La distinction entre issue, univers et événement reste toutefois valable même lorsque les issues ne sont pas équiprobables.
Un exemple, pas à pas
On lance un dé équilibré à six faces et l'on étudie l'événement « obtenir un nombre pair ». La représentation de l'univers et de cet événement permet de voir quelles issues sont comptées.
Données.
L'univers contient les six issues 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Le dé est équilibré : chaque issue a une probabilité de 1/6.
L'événement étudié est « obtenir un nombre pair ».
L'univers contient les six issues 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Le dé est équilibré : chaque issue a une probabilité de 1/6.
L'événement étudié est « obtenir un nombre pair ».
1. On décrit l'univers par .
2. On repère les issues qui satisfont la condition « être pair » : 2, 4 et 6. L'événement est donc l'ensemble {2, 4, 6}.
3. On additionne les probabilités des trois issues retenues : .
Le résultat vaut 1/2. Pour le contrôler, on compte trois issues favorables parmi six issues équiprobables : 3/6 se simplifie bien en 1/2.
En pratique
Avant de calculer une probabilité, on énumère les issues possibles. Pour le dé, écrire {1, 2, 3, 4, 5, 6} évite d'oublier un résultat ou d'en compter un deux fois. Si l'énumération devient peu lisible, on décrit plutôt l'univers par une règle précise.
Pour traduire une question en événement, on retient les issues qui respectent le critère observé. « Obtenir un nombre pair » conduit à {2, 4, 6}. Si la question porte sur une seule valeur, comme « obtenir 4 », l'événement ne contient qu'une issue.
Avant d'appliquer le quotient « cas favorables sur cas possibles », on vérifie que les issues ont la même probabilité. C'est le cas du dé équilibré. Sinon, on additionne les probabilités des issues de l'événement au lieu de seulement les compter.
À ne pas confondre
Issue et événement. Une issue est un résultat élémentaire, tandis qu'un événement est un sous-ensemble de l'univers. Au dé, 4 est une issue ; « obtenir un nombre pair » est l'événement {2, 4, 6}.
Issue et univers. Une issue est un élément de l'univers, alors que l'univers rassemble toutes les issues possibles. Pour un lancer de dé, 4 appartient à {1, 2, 3, 4, 5, 6}, mais ne constitue pas à lui seul l'univers.
Issue et probabilité. L'issue décrit ce qui peut arriver ; la probabilité mesure le poids d'un événement. Pour un dé équilibré, l'issue 4 est un résultat, tandis que 1/6 est la probabilité de l'événement {4}.
Limites et pièges
Une issue doit être possible dans l'expérience décrite. Pour un dé à six faces, 7 n'est pas une issue : il n'appartient pas à l'univers {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Il faut d'abord fixer l'expérience, puis vérifier l'appartenance du résultat à son univers.
« Élémentaire » dépend de la description choisie. Si le résultat enregistré est seulement « pair » ou « impair », ces deux réponses sont les issues de cette nouvelle expérience décrite ainsi. Il faut annoncer ce qui est effectivement observé avant d'énumérer l'univers.
Compter les issues ne suffit pas toujours. Le calcul 3/6 pour l'événement {2, 4, 6} repose sur un dé équilibré. Si les issues n'ont pas toutes le même poids, il faut additionner leurs probabilités plutôt que diviser leurs nombres.
Pour aller plus loin
Expérience aléatoire. Pour préciser le protocole qui détermine les résultats possibles et l'univers associé.
Événement. Pour passer d'une issue isolée à un ensemble d'issues répondant à une même condition.
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