Événement

On lance un dé à six faces. Le résultat visible est un nombre, mais la question posée peut regrouper plusieurs résultats : « obtenir un nombre pair » rassemble 2, 4 et 6. Ce groupe de résultats est un événement.

Après le lancer, l'événement se réalise si le nombre observé appartient au groupe choisi. Avant le lancer, sa probabilité indique la part de hasard associée à cette possibilité.

Une expérience aléatoire possède un univers, noté Ω, qui rassemble toutes ses issues possibles. Un événement est un sous-ensemble mesurable A de cet univers, appartenant à la tribu 𝒜, auquel une probabilité peut être attribuée. Il est réalisé exactement lorsque l'issue observée appartient à A.

Dans un espace probabilisé rigoureux, les événements ne sont pas une collection arbitraire. Leur famille, notée 𝒜, est une tribu, aussi appelée sigma-algèbre : elle contient Ω, contient le complémentaire de chacun de ses événements et contient toute réunion dénombrable d'événements. Ces propriétés garantissent notamment que les intersections dénombrables sont encore des événements.

La probabilité P attribue à chaque événement A un nombre réel compris entre 0 et 1. L'événement impossible est l'ensemble vide ∅ et l'événement certain est Ω. Pour un dé équilibré, A = {2, 4, 6} est l'événement « obtenir un nombre pair » et sa probabilité vaut 3/6 = 1/2.

Un dé équilibré à six faces est lancé une fois. Les six issues 1, 2, 3, 4, 5 et 6 ont la même probabilité. On étudie l'événement A : « obtenir un nombre pair ». La représentation de l'univers fait apparaître les trois issues de A et les trois issues de son complémentaire.

1. L'univers est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

2. Les issues qui satisfont la condition sont 2, 4 et 6, donc A = {2, 4, 6}.

3. Trois issues favorables sont comptées parmi six issues équiprobables : P(A) = 3/6 = 1/2.

4. Le complémentaire de A est l'événement « obtenir un nombre impair », soit A^c = {1, 3, 5}. Son calcul donne P(A^c) = 3/6 = 1/2. Le contrôle P(A) + P(A^c) = 1 confirme que les deux événements couvrent toutes les issues sans se chevaucher.

Pour traduire une question en probabilités, on commence par nommer l'univers, puis on rassemble les issues qui satisfont la condition. Avec le dé, « pair » devient {2, 4, 6}. Si une seule valeur est demandée, un événement élémentaire suffit.

Pour traiter « A ou B », on utilise la réunion des issues de A et de B. Pour « A et B », on conserve leur intersection. Le mot employé dans la question ne suffit pas toujours : le critère sûr consiste à tester chaque issue.

Pour calculer la probabilité de « ne pas obtenir A », on choisit son complémentaire A^c. Cette voie est souvent plus courte qu'un comptage direct lorsque A contient presque toutes les issues, car P(A^c) = 1 − P(A).

Événement et issue. Une issue est un résultat élémentaire possible ; un événement est un ensemble d'issues. Au lancer du dé, 4 est une issue, tandis que « obtenir un nombre pair » est l'événement {2, 4, 6}.

Événement contraire et événement incompatible. Le contraire A^c contient toutes les issues qui ne sont pas dans A. Deux événements incompatibles n'ont aucune issue commune, mais ils ne couvrent pas nécessairement l'univers. Ainsi, {2} et {4} sont incompatibles sans être contraires.

Incompatibilité et indépendance. Des événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble. Des événements indépendants peuvent se produire ensemble ; si l'événement sur lequel on conditionne a une probabilité non nulle, savoir qu'il est réalisé ne modifie pas la probabilité de l'autre. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont donc pas indépendants.

Tous les sous-ensembles ne sont pas toujours mesurables. Dans un univers fini comme celui du dé, on peut prendre tous les sous-ensembles comme événements. Dans certains univers infinis, la tribu peut être plus petite : il faut vérifier que A appartient bien à la famille d'événements avant d'écrire P(A).

Probabilité nulle ne signifie pas toujours impossibilité. L'événement impossible ∅ a toujours une probabilité nulle. Pour une variable aléatoire de loi continue, obtenir une valeur réelle fixée exactement est un événement non vide de probabilité nulle.

Probabilité 1 et certitude logique diffèrent parfois. L'univers Ω est l'événement certain et P(Ω) = 1. Dans un espace comportant des ensembles non vides de probabilité nulle, un événement distinct de Ω peut aussi avoir une probabilité 1 ; on dit alors qu'il se produit presque sûrement.

L'issue précise le résultat élémentaire observé, à partir duquel se construisent les événements.

La probabilité conditionnelle mesure ensuite la probabilité d'un événement lorsque l'on sait qu'un autre est réalisé.

Une variable aléatoire associe une valeur numérique aux issues et permet de reformuler des événements par des conditions sur cette valeur.