Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Incompatible (événement)
Deux événements sont dits incompatibles (ou mutuellement exclusifs) en théorie des probabilités s'ils ne peuvent pas se réaliser simultanément, c'est-à-dire si leur intersection est l'ensemble vide. Pour des événements incompatibles A et B, la probabilité de leur réunion est égale à la somme de leurs probabilités : P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Plus généralement, une famille d'événements est incompatible si l'intersection de toute paire est vide ; pour une telle famille finie, la probabilité de la réunion est égale à la somme des probabilités. Ce concept est central dans le calcul des probabilités.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître deux événements incompatibles grâce à leur intersection vide.
- Calculer la probabilité de leur réunion par addition.
- Distinguer incompatibilité, indépendance et événements contraires.
- Éviter de confondre incompatibilité deux à deux et intersection totale vide.
En clair
Lorsqu’un dé est lancé, obtenir un nombre pair et obtenir 3 sont deux résultats qui ne peuvent jamais arriver ensemble. Les deux événements sont donc incompatibles.
Le premier événement rassemble les issues 2, 4 et 6 ; le second ne contient que l’issue 3. Comme ils ne partagent aucune issue, leurs probabilités s’ajoutent pour trouver la probabilité d’obtenir un nombre pair ou 3.
Définition
Une expérience aléatoire possède un ensemble de résultats possibles, appelé univers et noté Ω. Un événement est un sous-ensemble de cet univers. Deux événements, notés A et B, sont incompatibles, ou mutuellement exclusifs, lorsqu’aucun résultat ne leur appartient simultanément. Leur intersection est alors vide : .
La réunion de A et B, notée A ∪ B, regroupe les résultats appartenant à au moins l’un des deux événements. Si P(A) et P(B) désignent leurs probabilités, l’absence de partie commune donne la règle d’addition suivante : .
Pour une famille de plusieurs événements, l’incompatibilité signifie que chaque paire distincte a une intersection vide. Cette condition est dite incompatibilité deux à deux. Pour une telle famille finie, elle permet d’additionner les probabilités de tous les événements pour calculer celle de leur réunion.
Un exemple, pas à pas
Un dé équilibré à six faces est lancé une fois. L’événement A est « obtenir un nombre pair » et l’événement B est « obtenir 3 ».
Données :
Les six issues 1, 2, 3, 4, 5 et 6 sont équiprobables.
A contient 2, 4 et 6.
B contient seulement 3.
Données :
Les six issues 1, 2, 3, 4, 5 et 6 sont équiprobables.
A contient 2, 4 et 6.
B contient seulement 3.
1. A et B ne partagent aucune issue, donc ils sont incompatibles.
2. La probabilité de A vaut 3/6, soit 1/2.
3. La probabilité de B vaut 1/6.
4. La règle d’addition donne . Le diagramme des issues matérialise l’absence de recouvrement utilisée dans ce calcul.
2. La probabilité de A vaut 3/6, soit 1/2.
3. La probabilité de B vaut 1/6.
4. La règle d’addition donne . Le diagramme des issues matérialise l’absence de recouvrement utilisée dans ce calcul.
Le résultat est donc une probabilité de 2/3. Pour le contrôler, on compte directement les quatre issues favorables de la réunion, 2, 3, 4 et 6, parmi les six issues possibles : 4/6 vaut bien 2/3.
En pratique
Dans un calcul de probabilité, on examine d’abord si les cas envisagés peuvent partager une issue. Si leur intersection est vide, on additionne directement leurs probabilités. Sinon, il faut retirer la probabilité de leur intersection pour ne pas compter deux fois les issues communes.
Pour décomposer un événement en cas plus simples, on choisit des cas incompatibles qui couvrent exactement la situation étudiée. Cette décomposition est préférable à des cas qui se chevauchent lorsque chaque résultat doit être compté une seule fois.
Lors d’une vérification, si des cas sont supposés incompatibles, une somme de leurs probabilités supérieure à 1 signale immédiatement un problème. Les cas ne sont peut-être pas incompatibles, ou certaines probabilités sont erronées ; il faut alors contrôler les intersections avant d’additionner.
À ne pas confondre
Événements indépendants. Deux événements indépendants ne s’influencent pas, mais ils peuvent se produire ensemble. Avec le même dé, « obtenir un nombre pair » a pour probabilité 1/2 et « obtenir un multiple de 3 » a pour probabilité 1/3. Leur intersection contient 6 et vaut 1/6, produit de 1/2 par 1/3 : ils sont indépendants, mais pas incompatibles.
Événements contraires. Un événement et son contraire sont incompatibles, mais ils couvrent aussi tout l’univers. Les événements « obtenir un nombre pair » et « obtenir 3 » sont incompatibles sans être contraires, car les issues 1 et 5 n’appartiennent à aucun des deux.
Limites et pièges
Intersection totale vide. Pour trois événements ou davantage, une intersection commune vide ne suffit pas. Le symptôme est qu’une paire peut encore se chevaucher. Il faut vérifier séparément l’intersection de chaque paire pour conclure à l’incompatibilité de la famille.
Événement impossible. L’ensemble vide est incompatible avec tout événement, y compris avec lui-même, car il ne contient aucune issue. Sa probabilité est 0 ; l’ajouter ne change donc pas la probabilité d’une réunion.
Addition sans contrôle. Si A et B partagent au moins une issue, la somme P(A) + P(B) compte cette partie commune deux fois. Il faut alors employer , après avoir déterminé la probabilité de l’intersection.
Pour aller plus loin
Intersection — Pour formaliser les issues communes à deux événements et tester si cet ensemble est vide.
Mutuellement indépendants (événements) — Pour distinguer l’absence d’influence de l’impossibilité de se produire ensemble.
Contraire (événement) — Pour étudier le cas particulier de deux événements incompatibles dont la réunion couvre tout l’univers.
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