Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Mutuellement indépendants (événements)
Des événements A_1, ..., A_n sont dits mutuellement indépendants si la probabilité de toute intersection d'une sous-famille quelconque est égale au produit des probabilités de chaque événement de cette sous-famille. Cette condition est plus forte que la simple indépendance deux à deux : des événements peuvent être indépendants deux à deux sans être mutuellement indépendants. La notion s'étend aux variables aléatoires : elles sont mutuellement indépendantes si les sigma-algèbres qu'elles engendrent sont indépendantes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Formuler le critère pour toute sous-famille d'événements.
- Refaire un contre-exemple à deux pièces où toutes les paires sont indépendantes.
- Distinguer l'indépendance mutuelle de l'indépendance deux à deux et de l'incompatibilité.
- Relier la définition des événements à celle des variables aléatoires.
En clair
Lancez deux pièces équilibrées et observez trois événements : la première donne pile, la seconde donne pile, et les deux donnent le même côté. Connaître la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de chacun des deux autres pris séparément.
Pourtant, les trois informations réunies ne se comportent pas comme trois choix indépendants. L'indépendance mutuelle exige donc davantage : le produit des probabilités doit fonctionner pour chaque groupe possible, pas seulement pour chaque paire.
Définition
Dans un même espace probabilisé, considérons une famille de n événements nommés A1, …, An. Elle est mutuellement indépendante lorsque, pour tout choix d'au moins deux indices distincts, la probabilité que les événements choisis se réalisent ensemble est le produit de leurs probabilités. En notant J l'ensemble des indices choisis, le critère complet s'écrit :
Il faut vérifier toutes les sous-familles, y compris la famille entière. Vérifier seulement les groupes de deux établit l'indépendance deux à deux, qui ne suffit pas en général. Pour des variables aléatoires, la même idée porte sur les événements décrits par chaque variable : les variables sont mutuellement indépendantes lorsque les sigma-algèbres qu'elles engendrent forment une famille indépendante.
Un exemple, pas à pas
Deux pièces équilibrées sont lancées. Les quatre issues ordonnées — pile-pile, pile-face, face-pile et face-face — ont chacune une probabilité de 1/4. Notons A l'événement « la première pièce donne pile », B l'événement « la seconde donne pile » et C l'événement « les deux pièces donnent le même côté ». La répartition des événements parmi les quatre issues rend le contrôle refaisable.
1. Chaque événement contient deux issues sur quatre, donc P(A) = P(B) = P(C) = 1/2.
2. Chacune des intersections A ∩ B, A ∩ C et B ∩ C contient seulement pile-pile. Sa probabilité vaut 1/4, soit (1/2) × (1/2) : les événements sont indépendants deux à deux.
3. L'intersection A ∩ B ∩ C contient encore pile-pile, donc sa probabilité vaut 1/4.
4. Le produit P(A) × P(B) × P(C) vaut (1/2)3 = 1/8. Comme 1/4 ≠ 1/8, A, B et C ne sont pas mutuellement indépendants.
2. Chacune des intersections A ∩ B, A ∩ C et B ∩ C contient seulement pile-pile. Sa probabilité vaut 1/4, soit (1/2) × (1/2) : les événements sont indépendants deux à deux.
3. L'intersection A ∩ B ∩ C contient encore pile-pile, donc sa probabilité vaut 1/4.
4. Le produit P(A) × P(B) × P(C) vaut (1/2)3 = 1/8. Comme 1/4 ≠ 1/8, A, B et C ne sont pas mutuellement indépendants.
Le contrôle consiste à recompter les issues : toutes les paires passent le test, mais le groupe de trois échoue. Cet écart suffit à réfuter l'indépendance mutuelle.
En pratique
Pour calculer la probabilité que plusieurs événements arrivent ensemble, le produit de leurs probabilités est utilisable si l'indépendance de toute la famille est établie. Si seules les paires ont été contrôlées, il faut calculer directement l'intersection complète.
Dans un modèle de répétitions aléatoires, l'indépendance mutuelle doit être une hypothèse justifiée par le dispositif, et non une conséquence automatique d'essais qui paraissent séparés. Une dépendance matérielle ou une règle commune conduit à conserver la loi conjointe plutôt qu'à multiplier les probabilités marginales.
Pour contrôler une famille finie, on examine les intersections par tailles croissantes. Dès qu'un groupe ne donne pas le produit attendu, le test s'arrête : la famille n'est pas mutuellement indépendante.
À ne pas confondre
Indépendance deux à deux. Elle ne teste que les intersections de deux événements. Dans l'exemple des deux pièces, A, B et C réussissent tous les tests par paires, mais leur intersection triple a une probabilité de 1/4 au lieu de 1/8 : ils ne sont pas mutuellement indépendants.
Événements incompatibles. Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble, donc leur intersection a une probabilité nulle. S'ils ont tous deux une probabilité positive, le produit de leurs probabilités est positif : ils ne sont alors pas indépendants.
Limites et pièges
Oublier les intersections de trois événements ou davantage. Tous les calculs par paires peuvent être justes sans que la famille soit mutuellement indépendante. Il faut tester chaque sous-famille d'au moins deux événements ; l'exemple conducteur échoue précisément au seuil de trois.
Déduire l'indépendance d'une impression de séparation. Des événements décrits par des gestes ou des objets différents peuvent partager une contrainte cachée. Le produit n'est légitime qu'après une hypothèse de modèle ou une vérification mathématique adaptée.
Traiter les variables comme de simples événements. Pour des variables aléatoires, il ne suffit pas de tester une seule valeur ou une seule paire de valeurs. L'indépendance concerne les sigma-algèbres engendrées, donc tous les événements mesurables décrits par ces variables.
Pour aller plus loin
La fiche Intersection précise l'opération ensembliste qui traduit la réalisation simultanée de plusieurs événements.
La fiche variable aléatoire prolonge la notion vers les objets dont les sigma-algèbres doivent être indépendantes.
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