Indépendants (événements et variables aléatoires)

Lançons deux fois une pièce équilibrée. Le résultat du second lancer ne change pas parce que le premier a donné pile ou face : les deux événements « obtenir pile au premier lancer » et « obtenir pile au second lancer » sont indépendants.

Dans ce contexte, savoir ce qui s'est passé dans une expérience n'améliore pas la prévision de l'autre. L'indépendance ne signifie donc pas que les événements sont impossibles ensemble ; elle signifie que leur rencontre suit le produit des chances séparées.

Soient A et B deux événements, c'est-à-dire deux situations observables dans une même expérience aléatoire. Ils sont indépendants lorsque la probabilité de leur intersection, notée P(A ∩ B), est le produit de leurs probabilités :

Pour une famille A₁, …, Aₙ, l'indépendance mutuelle exige la même propriété pour toute sous-famille : la probabilité de l'intersection de ces événements est le produit de leurs probabilités. Vérifier seulement chaque paire ne suffit pas toujours à établir cette indépendance mutuelle.

Deux variables aléatoires sont indépendantes si les événements qu'elles permettent de décrire le sont ; pour plusieurs variables, on demande cette indépendance à l'ensemble de leurs tribus engendrées. Ainsi, connaître la réalisation de certaines variables n'apporte aucune information probabiliste sur les autres.

Considérons deux lancers d'une pièce équilibrée. L'événement A est « pile au premier lancer » et l'événement B est « pile au second lancer ». Chaque lancer a deux issues équiprobables.

Données : P(A) = 1/2 ; P(B) = 1/2 ; les quatre couples de résultats pile-pile, pile-face, face-pile et face-face sont équiprobables.

1. L'événement A ∩ B signifie « pile aux deux lancers ».
2. Un seul des quatre couples réalise A ∩ B, donc P(A ∩ B) = 1/4.
3. Le produit des probabilités individuelles vaut P(A)P(B) = 1/2 × 1/2 = 1/4.
4. Les deux valeurs étant égales, A et B sont indépendants.

Le contrôle est refaisable en listant les quatre couples : un couple favorable aux deux événements sur quatre donne bien 1/4. Le résultat ne dit pas que A ∩ B est impossible ; il confirme au contraire que les deux piles peuvent survenir ensemble.

Pour deux expériences réellement séparées, comme deux lancers successifs d'une pièce équilibrée, on peut multiplier les probabilités des résultats ciblés. Le geste consiste à identifier l'intersection, puis à comparer sa probabilité au produit des probabilités individuelles.

Dans une modélisation, l'indépendance permet de calculer une probabilité conjointe sans connaître toute la distribution détaillée. Elle doit toutefois être justifiée par le dispositif ou par une hypothèse explicite, et non supposée parce que deux événements portent des noms différents.

Pour des variables aléatoires, on utilise l'indépendance lorsque l'observation de l'une ne modifie pas les probabilités concernant l'autre. Si une information commune, une cause ou une contrainte relie les observations, il faut conserver cette dépendance dans le modèle.

Indépendants et incompatibles. Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble : leur intersection a une probabilité nulle. Deux événements indépendants de probabilités non nulles ont au contraire une intersection de probabilité strictement positive, égale au produit. Dans l'exemple des deux lancers, « pile au premier » et « pile au second » sont indépendants, mais compatibles.

Indépendance et absence de corrélation. Pour certaines variables numériques, l'indépendance entraîne une covariance nulle lorsque les moments nécessaires existent. La réciproque est fausse en général : une covariance nulle ne suffit donc pas à conclure à l'indépendance.

Une probabilité nulle ne suffit pas à conclure. Si P(A) = 0 ou P(B) = 0, le produit P(A)P(B) vaut 0, mais l'égalité avec P(A ∩ B) peut être une conséquence de la nullité plutôt qu'une information utile sur l'influence entre événements. Dans un modèle discret fini, un événement de probabilité nulle est impossible ; dans un modèle continu, il peut être possible. Il faut donc examiner le modèle avant d'interpréter l'égalité.

Une paire indépendante n'établit pas une famille indépendante. Pour trois événements, vérifier les trois égalités par paires ne garantit pas que P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C). Le bon réflexe consiste à tester aussi l'intersection des trois événements, ainsi que les sous-familles requises par la définition choisie.

Une dépendance peut être masquée par une observation limitée. Deux variables peuvent présenter une covariance nulle ou une relation non visible dans un graphique, tout en restant dépendantes. Pour conclure, on revient à la définition par les événements engendrés, avec les hypothèses de mesurabilité et d'existence des probabilités concernées.

L'indépendance des variables aléatoires se formule avec les tribus qu'elles engendrent : chaque tribu rassemble l'information accessible à partir de la variable. Cette formulation permet de traiter des variables discrètes ou continues dans un même cadre, à condition de disposer d'un espace probabilisé et d'événements mesurables.

En algèbre linéaire, le mot indépendant décrit une autre structure : il concerne les relations de combinaison linéaire entre vecteurs. La même intuition d'absence de redondance ne remplace pas le critère probabiliste ; le contexte et l'opération étudiée déterminent le sens du terme.