Coalitions (lemme des)

Imaginez six lancers de pièce indépendants. On confie les deux premiers à une équipe, les trois suivants à une autre et le dernier à une troisième. Chaque équipe calcule un résultat en utilisant seulement ses propres lancers. Comme les équipes ne partagent aucun lancer, connaître le résultat de l’une ne renseigne pas sur celui des autres.

Le lemme des coalitions formalise cette idée : des calculs effectués sur des groupes disjoints de variables indépendantes produisent encore des résultats indépendants.

Le lemme des coalitions est un résultat de théorie des probabilités sur la stabilité de l’indépendance. On part d’une famille finie de variables aléatoires mutuellement indépendantes, notées X_i, où l’indice i appartient à un ensemble I. On partage ensuite certains indices en groupes I₁, …, I_r deux à deux disjoints. Ces groupes sont les « coalitions ».

Pour chaque groupe I_j, on choisit une fonction mesurable f_j qui ne dépend que des variables dont l’indice appartient à I_j. La variable obtenue est $Y_j=f_j((X_i{)}_{i\in I_j})Y\_j=f\_j((X\_i)\_\{i\; \backslash in\; I\_j\})$. Le lemme affirme que les variables Y₁, …, Y_r sont mutuellement indépendantes. Une somme, un maximum, un indicateur d’événement ou tout autre calcul mesurable peut jouer le rôle de f_j.

Le partage peut être fixé à l’avance. S’il est lui-même aléatoire, il faut ajouter des hypothèses : un découpage choisi à partir des valeurs observées peut réintroduire une dépendance. Le résultat sert notamment à factoriser des probabilités conjointes et à traiter des probabilités conditionnelles. Dans les modèles combinatoires ou les jeux coopératifs, le vocabulaire des coalitions organise aussi le dénombrement de groupes soumis à des contraintes, sans que tout dénombrement découle à lui seul du lemme probabiliste.

Soit une famille finie de variables aléatoires mutuellement indépendantes, indexée par un ensemble I. Si I₁, …, I_r sont des sous-ensembles deux à deux disjoints de I et si chaque fonction f_j est mesurable, alors les fonctions de ces groupes sont mutuellement indépendantes :

Autrement dit, appliquer séparément des calculs mesurables à des paquets disjoints ne détruit pas l’indépendance initiale.

Le lemme s’applique à des variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé. La famille de départ doit être mutuellement indépendante, et pas seulement indépendante deux à deux. Les coalitions d’indices doivent être deux à deux disjointes. Enfin, chaque résultat doit être une fonction mesurable des seules variables de sa coalition.

Un seul indice partagé suffit à bloquer la conclusion. Par exemple, si un premier calcul utilise X₁ + X₂ et un second X₂ + X₃, les deux résultats ont X₂ en commun. Il faut alors étudier directement leur loi conjointe, une covariance éventuelle ou des probabilités conditionnelles. Le même contrôle est nécessaire si le découpage est choisi après observation des valeurs.

On lance six fois une pièce équilibrée, les lancers étant mutuellement indépendants. Pour chaque rang i, la variable X_i vaut 1 si pile apparaît et 0 sinon. La coalition A réunit les rangs 1 et 2, B les rangs 3, 4 et 5, et C le rang 6. On note U, V et W les nombres de piles obtenus dans A, B et C.

1. Les trois groupes d’indices sont disjoints. Le lemme garantit donc que U, V et W sont mutuellement indépendants.

2. La probabilité d’obtenir uniquement des piles dans A vaut 1/4. Dans B, elle vaut 1/8. Dans C, elle vaut 1/2.

3. L’événement U = 2, V = 3 et W = 1 signifie que les six lancers donnent pile. Sa probabilité vaut :

4. Ce produit fournit un contrôle direct : parmi les 64 suites équiprobables de six résultats pile ou face, une seule est composée de six piles. On retrouve donc exactement 1/64.

Dans un calcul de probabilité, le lemme autorise la factorisation d’un événement conjoint lorsque chaque condition porte sur un paquet disjoint de variables indépendantes. Si les paquets se recouvrent, il faut conserver la probabilité conjointe et la calculer directement.

Dans une simulation, on peut résumer séparément plusieurs blocs d’entrées indépendantes, puis combiner leurs lois. Si une même entrée alimente deux résumés, cette séparation n’est plus justifiée et une simulation conjointe devient préférable.

En combinatoire et dans certains modèles de jeux coopératifs, les coalitions servent à classer ou compter les groupes qui satisfont des contraintes. Le lemme intervient lorsque ces groupes portent des variables indépendantes ; pour un simple problème de dénombrement, un raisonnement combinatoire direct reste l’outil adapté.

Indépendance mutuelle et indépendance deux à deux. La première factorise les probabilités pour tout sous-ensemble de variables ; la seconde ne teste que les paires. Trois variables peuvent être indépendantes deux à deux sans l’être mutuellement, donc le test par paires ne suffit pas ici.

Événements indépendants et événements incompatibles. Deux événements indépendants peuvent se produire ensemble. Deux événements incompatibles ne le peuvent pas ; s’ils ont chacun une probabilité positive, ils ne sont donc pas indépendants. Obtenir pile au premier lancer et face au second illustre l’indépendance, pas l’incompatibilité.

Coalitions qui se recouvrent. Dès qu’un indice appartient à deux groupes, la conclusion n’est plus automatique. Le symptôme est une variable d’entrée utilisée deux fois ; il faut examiner la loi conjointe des résultats.

Découpage dépendant des observations. Une partition aléatoire choisie selon les valeurs des X_i peut transmettre de l’information d’un groupe à l’autre. Il faut conditionner sur le découpage ou démontrer son indépendance avant d’appliquer le lemme.

Variables initiales dépendantes. Des groupes disjoints d’indices ne compensent pas une dépendance déjà présente. Si deux lancers utilisent la même source aléatoire, leurs fonctions peuvent rester liées ; leur distribution conjointe doit être étudiée.

Fonction constante. Une coalition vide, ou un calcul qui renvoie toujours la même valeur, produit une variable constante. Celle-ci est indépendante des autres, mais ce cas dégénéré n’apporte aucune information sur l’indépendance des entrées.

La fiche variable aléatoire précise l’objet auquel s’appliquent l’indépendance et les fonctions mesurables utilisées par le lemme.

L’article Le théorème de Bayes, un outil pour le médecin montre comment une probabilité conditionnelle transforme l’information disponible, en contraste avec une indépendance qui la laisse inchangée.