Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
croix ou pile de d'Alembert
Le problème « croix ou pile » de d'Alembert porte sur la probabilité d'obtenir au moins une fois pile en deux lancers indépendants d'une pièce équilibrée. D'Alembert obtient à tort 2/3 en traitant comme équiprobables trois cas qui ne le sont pas ; un dénombrement correct des quatre résultats possibles donne 3/4. Il montre qu'on ne peut compter des cas sans vérifier qu'ils ont le même poids.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Dénombrer les quatre suites équiprobables de deux lancers.
- Retrouver la probabilité 3/4 par addition puis par événement contraire.
- Repérer pourquoi les trois cas de d'Alembert ont les poids 1/2, 1/4 et 1/4.
- Distinguer incompatibilité, équiprobabilité, équilibre et indépendance.
- Adapter le calcul à une pièce biaisée ou à des lancers dépendants.
En clair
Lancez deux fois une pièce équilibrée et notez P pour pile, F pour face. Quatre suites peuvent apparaître : PP, PF, FP et FF. Chacune a la même chance, égale à 1/4. Dans trois suites, P apparaît au moins une fois : la probabilité cherchée vaut donc 3/4.
D'Alembert avait regroupé ces quatre suites en trois cas, puis traité les groupes comme s'ils avaient le même poids. Or « pile au premier lancer » réunit PP et PF, tandis que chacun des deux autres cas ne contient qu'une suite.
Définition
Le « croix ou pile » de d'Alembert est un raisonnement historique sur deux lancers successifs d'une pièce équilibrée, aujourd'hui décrit comme un jeu de pile ou face. Si l'on conserve le résultat des deux lancers, l'univers des issues est {PP, PF, FP, FF}. L'équilibre de la pièce et l'indépendance des lancers rendent ces quatre suites équiprobables, chacune de probabilité 1/4.
L'événement « obtenir au moins une fois pile » contient PP, PF et FP. Son événement contraire, « n'obtenir aucun pile », contient seulement FF. Les deux calculs donnent la même valeur : .
Les trois cas distingués par d'Alembert sont bien incompatibles et couvrent toutes les possibilités : pile dès le premier lancer, face puis pile, ou deux faces. Mais ils ont pour probabilités respectives 1/2, 1/4 et 1/4. Leur nombre ne permet donc pas de conclure à 2/3 : avant de compter des cas, il faut vérifier qu'ils sont équiprobables.
Un exemple, pas à pas
Reprenons exactement deux lancers indépendants d'une pièce équilibrée. Les données sont deux résultats possibles à chaque lancer, une probabilité de 1/2 pour P comme pour F, et l'événement recherché « au moins un P ».
1. Formons les suites complètes : PP, PF, FP et FF. L'indépendance donne pour chacune 1/2 × 1/2 = 1/4.
2. Retenons les suites qui contiennent P : PP, PF et FP. Le diagramme associe à chacune des quatre suites la même largeur et le même poids ; les trois cases retenues donnent 3 × 1/4 = 3/4.
3. Vérifions par l'événement contraire. Ne jamais obtenir P impose FF, de probabilité 1/4. Ainsi, 1 − 1/4 = 3/4.
4. Comparons avec le découpage de d'Alembert : « P au premier lancer » contient PP et PF, soit 1/2 ; « P seulement au second » contient FP, soit 1/4 ; « aucun P » contient FF, soit 1/4. La somme 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1 contrôle que tous les cas sont couverts, sans les rendre équiprobables.
En pratique
Pour calculer une probabilité par dénombrement, commencez par décrire des issues élémentaires de même probabilité. Ici, les suites PP, PF, FP et FF conviennent ; les trois groupes verbaux de d'Alembert ne conviennent pas, car l'un réunit deux suites.
Pour un événement formulé avec « au moins un », calculez souvent son contraire. Sur deux lancers, « au moins un pile » est le contraire de « deux faces » : une seule soustraction remplace l'addition de trois issues.
Pour contrôler une simulation de deux lancers équilibrés, comparez les fréquences des quatre suites, et non celles de trois groupes inégaux. Sur un petit nombre d'essais, elles ne valent pas nécessairement exactement 1/4 ; elles tendent à s'en rapprocher lorsque le nombre d'essais augmente.
À ne pas confondre
Cas incompatibles et cas équiprobables. Deux cas sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire ensemble ; ils sont équiprobables s'ils ont la même probabilité. Les trois cas de d'Alembert sont incompatibles, mais leurs poids 1/2, 1/4 et 1/4 ne sont pas égaux.
Pièce équilibrée et lancers indépendants. Une pièce équilibrée donne P et F avec la même probabilité à chaque lancer. L'indépendance signifie que le premier résultat ne modifie pas la loi du second. Une pièce peut être équilibrée sans que deux résultats produits par un protocole dépendant soient indépendants.
Issue et événement. PP est une issue élémentaire complète. « Au moins un P » est un événement formé de trois issues. Compter un événement comme une seule possibilité et chaque autre issue comme une possibilité de même poids reproduit précisément l'erreur de regroupement.
Limites et pièges
Pièce biaisée. Si la probabilité de pile à chaque lancer vaut p et si les lancers restent indépendants, les quatre suites ne valent plus toutes 1/4. La probabilité d'au moins un pile devient . Le résultat 3/4 est retrouvé seulement pour p = 1/2.
Lancers dépendants. Même si chaque lancer pris séparément donne pile avec probabilité 1/2, PP, PF, FP et FF ne sont pas nécessairement équiprobables lorsque les résultats sont liés. Il faut alors connaître les probabilités conjointes ou conditionnelles, au lieu de multiplier automatiquement 1/2 par 1/2.
Arrêt après le premier pile. Un arbre peut s'arrêter dès que P apparaît et montrer seulement trois feuilles : P, FP et FF. Ces feuilles n'ont toujours pas le même poids ; P représente les deux suites complètes PP et PF. Il faut conserver leurs probabilités 1/2, 1/4 et 1/4, ou prolonger toutes les branches jusqu'au second lancer.
Pour aller plus loin
Équiprobabilité — Préciser quand un dénombrement de cas autorise réellement à diviser par leur nombre.
Contraire (événement) — Approfondir la soustraction à 1 utilisée pour calculer « au moins un pile ».
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