AlgèbreNotion · Glossaire
Filtration
Une filtration est une suite croissante de sous-structures emboîtées. En probabilités, une filtration est une suite croissante de tribus (Ft) représentant l'information disponible au temps t dans un processus stochastique. Un processus est adapté à une filtration si chaque variable aléatoire Xt est mesurable par rapport à la tribu Ft. En algèbre, une filtration d'un anneau ou d'un module est une suite décroissante d'idéaux ou de sous-modules permettant de définir le gradué associé.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier une filtration aux niveaux successifs d'information.
- Construire les tribus de deux lancers de pièce.
- Vérifier qu'un processus est adapté sans utiliser d'information future.
- Distinguer les conventions croissante en probabilités et décroissante en algèbre.
En clair
Une pièce va être lancée deux fois. Avant le premier lancer, quatre suites restent possibles : pile-pile, pile-face, face-pile et face-face. Après le premier lancer, deux suites seulement restent compatibles avec ce qui a été observé. Après le second, l'issue est entièrement connue.
Une filtration range ces niveaux d'information dans l'ordre du temps. Elle ne prédit pas le prochain lancer : elle consigne précisément ce qui peut déjà être distingué, sans oublier ce qui était connu auparavant.
Définition
Sur un espace probabilisé, l'ensemble de toutes les issues est noté Ω et les événements forment une tribu. Une filtration est une famille de sous-tribus, notées Ft, indexées par le temps. Pour deux instants s et t tels que s ≤ t, la condition de croissance est :
Tout événement reconnaissable au temps s reste donc reconnaissable au temps t. L'égalité est permise : aucun renseignement nouveau n'est nécessaire entre deux instants.
Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires, notées Xt. Il est adapté à la filtration lorsque, à chaque temps t, la valeur de Xt est mesurable par rapport à Ft. Autrement dit, sa valeur présente peut être déterminée avec l'information présente ; elle ne dépend pas d'une observation future. Une martingale est notamment étudiée relativement à une filtration, qui précise ce que signifie « information disponible ».
En algèbre, le même principe d'emboîtement s'applique à un anneau ou à un module. La convention donnée ici est décroissante : chaque idéal ou sous-module contient le suivant. D'autres textes choisissent une indexation croissante ; il faut donc vérifier le sens des inclusions. Les quotients de deux niveaux successifs constituent alors les morceaux du gradué associé.
Un exemple, pas à pas
On lance deux fois une pièce et l'on note P le résultat pile, F le résultat face. Le processus Xt compte le nombre de piles observées après t lancers.
Données.
Les quatre issues sont PP, PF, FP et FF.
Le temps 0 précède toute observation.
Le temps 1 suit le premier lancer.
Le temps 2 suit le second lancer.
Les quatre issues sont PP, PF, FP et FF.
Le temps 0 précède toute observation.
Le temps 1 suit le premier lancer.
Le temps 2 suit le second lancer.
1. Avant les lancers. La tribu F0 ne distingue aucun résultat :
Le compteur vaut alors X0 = 0.
2. Après le premier lancer. Les événements « le premier résultat est P » et « le premier résultat est F » deviennent observables :
Le compteur X1 vaut 1 sur PP et PF, puis 0 sur FP et FF.
3. Après le second lancer. Chaque issue est distinguée : F2 est l'ensemble des 16 sous-ensembles de Ω. Le compteur X2 vaut respectivement 2, 1, 1 et 0 sur PP, PF, FP et FF. Contrôle : F0 ⊆ F1 ⊆ F2, et chaque valeur de Xt se lit avec l'information disponible au même temps. Le processus est donc adapté.
En pratique
Suivre une expérience au fil du temps. Pour des lancers successifs, la filtration engendrée par les observations conserve exactement les résultats déjà vus. Une tribu finale utilisée dès le départ serait plus grande, mais elle ferait comme si l'avenir était connu.
Vérifier qu'un processus est utilisable sans anticipation. On teste, pour chaque temps t, si Xt est mesurable par rapport à Ft. Si sa valeur exige une donnée future, le processus n'est pas adapté à cette filtration ; il faut changer le processus ou l'information déclarée.
Construire un objet gradué en algèbre. On choisit des idéaux ou des sous-modules emboîtés, puis on compare deux niveaux successifs par un quotient. Si les inclusions ne vont pas dans le sens annoncé par la convention, la construction doit être réindexée avant de former le gradué associé.
À ne pas confondre
Filtration et processus stochastique. La filtration décrit l'information disponible ; le processus attribue une variable aléatoire à chaque temps. Dans les deux lancers, les tribus Ft forment la filtration, tandis que Xt compte les piles.
Processus adapté et indépendance. Être adapté signifie que Xt est lisible avec Ft. Cela ne dit pas que Xt est indépendant du passé. Le nombre cumulé de piles est adapté, mais il contient précisément le résultat des lancers précédents.
Filtration et probabilité conditionnelle. Une filtration organise plusieurs niveaux d'information. Une probabilité conditionnelle évalue un événement une fois une information fixée. Au temps 1, F1 indique quels événements sont observables ; conditionner sur le premier lancer est ensuite une opération effectuée avec cette information.
Limites et pièges
Croissante ne signifie pas strictement croissante. Deux niveaux consécutifs peuvent être égaux lorsqu'aucune observation nouvelle n'arrive. Le symptôme du piège est l'ajout artificiel d'un événement à chaque temps ; il suffit de vérifier l'inclusion Fs ⊆ Ft pour s ≤ t.
La dernière tribu n'est pas toujours l'ensemble de tous les événements. Dans l'exemple, F2 contient les 16 événements possibles parce que les deux lancers sont entièrement observés. Avec une observation partielle, des issues peuvent rester indiscernables ; il faut construire la tribu engendrée par ce qui est réellement vu.
Le sens des inclusions dépend du cadre annoncé. La filtration probabiliste de l'information est croissante, tandis que la convention algébrique de la définition source est décroissante. Lire seulement le mot « filtration » peut donc inverser un raisonnement ; il faut contrôler l'indexation et l'inclusion écrite avant d'utiliser le gradué associé.
Pour aller plus loin
La fiche tribu précise les opérations qui laissent une famille d'événements stable et explique pourquoi chaque niveau d'information possède cette structure.
La fiche martingale montre comment une filtration intervient dans un processus dont l'évolution future est évaluée à partir de l'information présente.
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