Trajectoire (d'un processus)

Lancez une pièce cinq fois et déplacez un pion d'un cran à droite pour pile, d'un cran à gauche pour face. Une suite de lancers donne alors une ligne précise : le pion peut occuper successivement les positions 0, 1, 0, 1, 2 et 1.

Cette ligne est une trajectoire. Le processus stochastique rassemble tous les parcours que le hasard pourrait produire ; une trajectoire ne garde qu'un parcours réalisé. Une fois les lancers fixés, elle devient une fonction ordinaire du temps.

Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires, notée X_t, définies sur le même espace de probabilité. L'ensemble des temps possibles est noté T, l'ensemble des états possibles E et une issue de l'expérience aléatoire ω. Quand ω est fixée, la trajectoire associée, aussi appelée réalisation ou chemin, est la fonction x_ω qui à chaque temps t associe l'état X_t(ω) :Le mot « déterministe » signifie ici que cette fonction ne varie plus une fois l'issue ω choisie ; il ne supprime pas le hasard du processus avant ce choix.

Si T est un ensemble de dates séparées, la trajectoire est une suite d'états : c'est un processus à temps discret. Si T contient un intervalle de temps, le chemin est une fonction à temps continu. L'espace E peut être une droite, un ensemble fini ou un espace de dimension supérieure ; la trajectoire prend toujours ses valeurs dans cet espace des états.

La continuité, la variation bornée et la différentiabilité sont des propriétés de ces fonctions du temps. Elles s'étudient trajectoire par trajectoire, puis éventuellement en tenant compte de la probabilité des issues correspondantes. Cette distinction est notamment fondamentale pour examiner les chemins du mouvement brownien.

Un pion part de 0. À chacune des cinq dates suivantes, pile le déplace de +1 et face de −1. La position à la date entière n est notée X_n. Nous observons la réalisation pile, face, pile, pile, face.

Données :
position initiale : X₀ = 0 ;
déplacements successifs : +1, −1, +1, +1, −1 ;
dates observées : n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

1. Ajouter +1 à la position initiale : X₁ = 1.
2. Ajouter −1 : X₂ = 0.
3. Ajouter +1, puis +1 : X₃ = 1 et X₄ = 2.
4. Ajouter −1 : X₅ = 1. La trajectoire obtenue est donc :

Le tracé relie ces six états pour rendre le chemin lisible, mais seules les valeurs aux dates entières appartiennent au processus décrit. Le contrôle se refait en additionnant les cinq déplacements : leur somme vaut 1, égale à la position finale moins la position initiale.

Dans une simulation, on génère plusieurs réalisations du même processus et l'on trace leurs trajectoires. Une seule courbe montre un scénario ; un ensemble de courbes est préférable lorsque l'on veut observer la diversité des scénarios possibles.

Pour étudier un enregistrement au fil du temps, on traite la série observée comme un chemin particulier. On examine sa continuité, ses variations ou sa régularité ; pour conclure sur le processus entier, il faut aussi considérer la loi probabiliste et d'autres réalisations.

Avant un calcul, on précise l'ensemble des dates et l'espace des états. Une suite convient à un processus à temps discret ; une fonction sur un intervalle est nécessaire si la question porte réellement sur un temps continu.

Trajectoire et processus stochastique. Le processus associe une valeur à chaque couple formé d'un temps et d'une issue ; la trajectoire fixe une issue et ne conserve que la variation avec le temps. Deux suites de lancers différentes peuvent donc appartenir au même processus tout en donnant deux trajectoires distinctes.

Variable aléatoire et trajectoire ne fixent pas le même paramètre. À un temps donné, X_t varie avec l'issue aléatoire ; pour une issue donnée, x_ω varie avec le temps. Choisir une date produit une variable aléatoire, choisir une issue produit un chemin.

Relier les points ajoute une convention. Dans la marche à temps discret, les états ne sont définis qu'aux dates entières. Les segments du dessin facilitent la lecture, mais ils ne prouvent pas que le pion a suivi ces valeurs entre deux dates ; il faut annoncer une interpolation avant de parler d'un chemin continu.

Déterministe après fixation ne signifie pas régulier. Une trajectoire est une fonction déterminée lorsque l'issue est choisie, mais cette fonction peut ou non être continue, à variation bornée ou différentiable. Il faut vérifier séparément la propriété étudiée au lieu de la déduire du mot « déterministe ».

Un chemin ne décrit pas tous les chemins. La trajectoire 0, 1, 0, 1, 2, 1 établit ce qui s'est produit pour cinq déplacements précis. Elle ne permet pas, à elle seule, d'attribuer la même forme aux autres réalisations ; une affirmation sur le processus exige un raisonnement probabiliste.

Le glossaire mouvement brownien présente le processus pour lequel l'étude des chemins joue un rôle central.

La fiche Espace de probabilité précise le cadre qui rassemble les issues, les événements et leurs probabilités.

La fiche variable aléatoire approfondit l'objet obtenu lorsqu'on fixe le temps plutôt que l'issue.