Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
martingale
En théorie des probabilités, une martingale est un processus stochastique représentant un jeu équitable, dans lequel l'espérance conditionnelle de l'accroissement à l'étape suivante, compte tenu des valeurs observées jusqu'à l'instant présent, est nulle. Plus formellement, sur un espace probabilisé muni d'une filtration, un processus (Xₙ) adapté à cette filtration et intégrable à chaque instant est une martingale si l'espérance conditionnelle de Xₙ₊₁ sachant l'information passée est égale à Xₙ. Dans le langage courant, le terme « martingale » désigne aussi, depuis le début du XVIIIe siècle, tout système de jeu prétendu infaillible censé augmenter les chances de gagner : dans un jeu à gains symétriques, avec un paiement de 1 pour 1, la martingale classique double la mise après chaque perte afin de récupérer les pertes accumulées lors du prochain gain. Abraham de Moivre aborde ce type de stratégie dans The Doctrine of Chance (1718). En dehors des illusions des joueurs, ces systèmes ne rendent pas équitable un jeu de hasard défavorable. La théorie mathématique des martingales, développée principalement au XXe siècle, a connu un essor considérable grâce aux travaux de Joseph Doob, et est aujourd'hui indispensable en théorie des probabilités, en statistique et en mathématiques financières, notamment pour la modélisation des marchés et la valorisation d'actifs financiers.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la condition d'espérance conditionnelle qui définit une martingale.
- Vérifier cette condition sur une marche aléatoire à trois lancers.
- Distinguer le processus probabiliste de la stratégie qui double les mises.
- Repérer pourquoi la stratégie de mise ne modifie pas l'espérance du jeu.
En clair
Imaginez un pion placé sur 0. À chaque lancer d'une pièce équilibrée, effectué indépendamment des précédents, il monte d'une unité pour pile et descend d'une unité pour face. Après plusieurs lancers, sa position est connue. Pourtant, même avec tout l'historique sous les yeux, la meilleure prévision de sa prochaine position reste sa position actuelle.
Dans un cadre probabiliste muni d'une filtration précisée, cette absence d'avantage prévisible caractérise une martingale lorsque le processus est adapté et intégrable. Le trajet peut beaucoup varier, mais le passé ne crée ni gain ni perte moyenne pour l'étape suivante.
Définition
Une martingale est un processus stochastique, c'est-à-dire une suite de variables aléatoires décrivant une grandeur qui évolue au fil du temps. On note Xn la valeur observée à l'instant n. Toute l'information disponible jusqu'à cet instant comprend X0, X1, …, Xn.
Le processus est une martingale lorsque chaque Xn est intégrable, c'est-à-dire lorsque E(|Xn|) < ∞ pour tout n, et que, pour chaque instant n, la moyenne conditionnelle de la valeur suivante, une fois connues les valeurs observées jusqu'à cet instant, est la valeur présente : . Ici, l'information considérée est donc celle engendrée par X0, …, Xn, appelée filtration naturelle. De façon équivalente, l'accroissement Xn+1 − Xn a une espérance conditionnelle nulle. Cette propriété décrit un jeu équitable au sens probabiliste ; elle ne dit pas que chaque trajectoire reste constante ni que le joueur ne peut ni gagner ni perdre.
Le schéma d'une étape rend visible cette égalité : depuis la valeur présente 0, les deux valeurs suivantes +1 et −1 se compensent exactement en moyenne. Cette idée, développée au XXe siècle notamment par Joseph Doob, intervient en probabilités, en statistique et en mathématiques financières.
Un exemple, pas à pas
Un pion part de 0. Une pièce équilibrée est lancée trois fois, les lancers étant indépendants. Chaque pile ajoute 1 à la position et chaque face retire 1. Les deux issues ont donc chacune une probabilité de 1/2. La suite observée sera pile, face, pile.
1. Après pile, la position vaut X1 = 0 + 1 = 1.
2. Après face, elle vaut X2 = 1 − 1 = 0.
3. Après le dernier pile, elle vaut X3 = 0 + 1 = 1.
2. Après face, elle vaut X2 = 1 − 1 = 0.
3. Après le dernier pile, elle vaut X3 = 0 + 1 = 1.
Pour vérifier la propriété juste avant le troisième lancer, on conditionne par tout l'historique alors disponible. Ici, comme le prochain lancer est indépendant du passé, connaître X2 suffit pour le calcul : X2 vaut 0. La valeur suivante serait 1 après pile et −1 après face. Sa moyenne conditionnelle est .
Le résultat observé, 1, n'était donc pas garanti. Le contrôle peut être refait à X1 = 1 : les valeurs possibles 2 et 0 ont pour moyenne 1. Le même calcul fonctionne après n'importe quel historique.
En pratique
En probabilités, on teste si le passé améliore la prévision moyenne d'un processus. Si la meilleure prévision demeure la valeur présente, le modèle de martingale convient ; si une hausse ou une baisse moyenne subsiste, il faut plutôt intégrer cette tendance.
En statistique, une suite d'erreurs cumulées peut être étudiée comme une martingale lorsque le processus cumulé est intégrable et adapté à la filtration considérée, et que chaque nouvelle erreur a une moyenne conditionnelle nulle sachant l'information passée. Une dépendance prévisible dans les erreurs signale qu'un autre modèle est nécessaire.
En mathématiques financières, les martingales servent notamment à modéliser des prix ou des richesses actualisés sous une mesure appropriée, en particulier une mesure risque-neutre pour la valorisation d'actifs. Le critère porte sur l'absence de variation moyenne prévisible dans ce cadre, et non sur l'immobilité des prix observés.
À ne pas confondre
Martingale probabiliste et martingale de mise. La première est un processus dont la valeur future conditionnelle moyenne égale la valeur présente. La seconde est une stratégie de jeu qui double la mise après une perte. Dans un casino, annoncer « je double après chaque perte » décrit une stratégie, pas un processus automatiquement équitable.
Jeu équitable et gain garanti. Un jeu équitable a une espérance de gain nulle ; il peut néanmoins produire des gains ou des pertes sur une partie. Le pion de l'exemple finit à 1, mais cette issue particulière ne transforme pas l'équité moyenne en certitude de gagner.
Limites et pièges
Une moyenne globale ne suffit pas. Un processus peut avoir la même moyenne à chaque instant sans être une martingale. Le symptôme est qu'après certains historiques, la prochaine variation devient prévisible. Il faut vérifier l'espérance conditionnelle pour chaque information passée, pas seulement l'espérance non conditionnelle.
La trajectoire n'a pas à être plate. Des hausses et des baisses, même importantes, sont compatibles avec une martingale. Il faut examiner la moyenne des valeurs futures possibles depuis la position présente, plutôt que conclure à partir d'un seul trajet observé.
Dans un jeu équitable, doubler les mises ne crée pas d'avantage moyen. Cette conclusion suppose que le gain total de la stratégie est intégrable ; dans un jeu défavorable, le doublement ne rend pas le jeu équitable. Avec des mises successives de 1, 2, 4 puis 8 unités, quatre pertes consécutives coûtent 15 unités. La récupération promise suppose de pouvoir continuer à doubler, sans limite de capital ni de mise. Il faut évaluer l'espérance et le risque de ruine, pas seulement le gain visé au prochain succès.
Pour aller plus loin
Conditionnelle (espérance) — Pour approfondir la moyenne calculée lorsque l'information passée est connue.
processus — Pour replacer la martingale parmi les objets qui décrivent une évolution aléatoire au cours du temps.
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