AnalyseNotion · Glossaire
Ruine du joueur
Le problème de la ruine du joueur est un problème classique de la théorie des probabilités. Un joueur possède un capital initial de k unités et joue une série de parties contre un adversaire avec un capital de N-k unités : à chaque partie, il gagne 1 unité avec probabilité p et en perd 1 avec probabilité q = 1-p. La question est de calculer la probabilité que le joueur soit ruiné avant d'atteindre un capital total de N. La probabilité de ruine et la durée espérée du jeu s'expriment explicitement en fonction de p, q, k et N.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les deux barrières et les hypothèses du modèle.
- Calculer la probabilité de ruine dans les cas équitable et asymétrique.
- Refaire un exemple à 5 jetons et contrôler son résultat.
- Reconnaître les cas où une mise variable ou une probabilité changeante impose un autre modèle.
En clair
Imaginez cinq jetons partagés entre deux joueurs. Le premier en possède deux. Après chaque partie, un jeton passe d'un joueur à l'autre. Son capital monte donc à 3 ou descend à 1, puis continue de fluctuer jusqu'à toucher 0 ou 5. La ruine du joueur est l'événement où son capital atteint 0 en premier. Même si chaque partie est équitable, plusieurs pertes dispersées dans le temps peuvent finir par absorber tout son capital.
Définition
La ruine du joueur modélise une marche aléatoire sur les capitaux entiers de 0 à N. Le joueur commence avec k unités, où 0 ≤ k ≤ N. À chaque partie, son capital augmente d'une unité avec une probabilité p ou diminue d'une unité avec une probabilité q, où q = 1 − p. Les parties sont supposées indépendantes et ces probabilités restent constantes. Les états 0 et N sont absorbants : le jeu s'arrête dès que l'un d'eux est atteint.
En notant Rk la probabilité d'atteindre 0 avant N, le cas équitable p = q = 1/2 donne . Si 0 < p < 1 et p ≠ q, cette probabilité devient :
La durée espérée est le nombre moyen de parties avant l'une des deux absorptions, et non une durée garantie. En la notant Ek, le cas équitable donne . Pour 0 < p < 1 et p ≠ q, elle vaut :
Ces résultats concernent le modèle borné décrit ici. Changer la taille des gains, autoriser des mises variables ou faire évoluer les probabilités demande un autre calcul.
Un exemple, pas à pas
Deux joueurs se partagent 5 jetons. Le joueur étudié commence avec 2 jetons ; l'objectif opposé est donc fixé à 5. À chaque partie indépendante, il gagne ou perd exactement 1 jeton avec la même probabilité 1/2. Le jeu s'arrête à 0 ou à 5.
1. Le capital initial est k = 2 et le capital total est N = 5.
2. Comme le jeu est équitable, la probabilité de ruine est .
3. Ainsi, le joueur est ruiné avant d'atteindre 5 jetons avec une probabilité exacte de 3/5, soit 60 %.
2. Comme le jeu est équitable, la probabilité de ruine est .
3. Ainsi, le joueur est ruiné avant d'atteindre 5 jetons avec une probabilité exacte de 3/5, soit 60 %.
4. La durée moyenne avant l'arrêt vaut parties. Le contrôle est immédiat : les probabilités d'atteindre 0 et 5 valent respectivement 3/5 et 2/5, donc leur somme vaut 1. La moyenne de 6 parties n'empêche pas certaines séries de durer beaucoup plus longtemps.
En pratique
Dans un jeu à mises fixes, le modèle mesure le risque d'épuiser une réserve avant d'atteindre un objectif. Si la mise varie d'une partie à l'autre, une simulation ou un modèle à états plus détaillé remplace la formule fermée.
Pour comparer deux jeux, il faut examiner à la fois la probabilité de gagner une partie et le capital disponible. Un léger avantage par partie ne supprime pas le risque de ruine lorsque le capital initial est fini.
Le même schéma sert à étudier une réserve qui augmente ou diminue par unités jusqu'à deux seuils. Dès que les variations ne valent plus ±1 ou dépendent du passé, il faut adapter la marche aléatoire au mécanisme observé.
À ne pas confondre
Ruine du joueur et perte d'une partie. Perdre une partie fait baisser le capital d'une unité ; être ruiné signifie atteindre le capital 0. Dans l'exemple, une première défaite mène de 2 à 1 sans arrêter le jeu.
Problème de la ruine et stratégie de martingale. Le premier calcule une probabilité d'absorption dans un modèle donné. La seconde désigne couramment une règle de mise qui augmente après une perte. Une mise fixe de 1 jeton relève du problème de la ruine sans appliquer cette stratégie.
En probabilités, une martingale possède encore un sens technique distinct : son espérance conditionnelle future est égale à sa valeur présente. Le mot ne suffit donc pas à identifier une stratégie de jeu.
Limites et pièges
Départ sur une barrière. Si k = 0, la ruine a déjà eu lieu et sa probabilité vaut 1. Si k = N, l'objectif est déjà atteint et la probabilité de ruine avant cet objectif vaut 0. Dans les deux cas, la durée est nulle.
Jeu favorable ou déterministe. Lorsque 1/2 < p < 1, la ruine devient moins probable, mais elle ne disparaît pas avec un capital initial fini. Pour p = 0, chaque partie fait perdre une unité ; pour p = 1, chaque partie en fait gagner une. Ces deux cas se lisent directement sans diviser par p ni employer la formule asymétrique.
Objectif supérieur retiré. Si l'on laisse le capital croître sans barrière N, le problème change. Pour p ≤ 1/2, la ruine finit par survenir avec probabilité 1 ; pour p > 1/2, sa probabilité vaut .
Dépendance ou mise variable. Une série où les chances changent après une victoire, ou où la mise double après une perte, ne vérifie plus les hypothèses du modèle élémentaire. Le symptôme est qu'un même capital n'a plus les mêmes transitions ; il faut alors décrire ces états supplémentaires.
Pour aller plus loin
Le glossaire martingale précise le sens probabiliste de ce processus et aide à relier jeu équitable, espérance conditionnelle et temps d'arrêt.
La fiche Transiente (marche aléatoire) prolonge l'étude vers les marches sur un espace non borné et la question du retour à un état.
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